X maths B 2018

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Von_
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X maths B 2018

Message par Von_ » sam. avr. 13, 2019 6:24 pm

Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci
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noro
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Re: X maths B 2018

Message par noro » sam. avr. 13, 2019 6:51 pm

Von_ a écrit :
sam. avr. 13, 2019 6:24 pm
Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci
Attention les fonctions $ f $ et $ g_x $ ne sont pas continues pour cette norme.
Par exemple si $ P_n=\left(\frac{1+X}{2}\right)^n + \left(\frac{1-X}{2}\right)^n $ alors $ ||P_n||\rightarrow 0 $ mais $ f(P_n)=(1,1) $.
Pour prouver que $ A_N $ est fermé il faut s'y prendre autrement, par exemple en considérant les fonctions $ g_{x,x'}(P) = \int_{x}^{x'}P(t)dt $ qui elles sont bien continues et $ h^-_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{-1}^{-1+e}P(t)dt $ et $ h^+_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{1-e}^{1}P(t)dt $.
Nothing happened.
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Von_
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Re: X maths B 2018

Message par Von_ » sam. avr. 13, 2019 8:11 pm

Ah oui mince... bien vu.
Puis-je savoir comment t'as pu penser à ces fonctions ? Et sinon, on peut montrer la fermeture par la caractérisation en considérant une suite Pn de An, et on montre que sa limite est dans An ?
Sinon, pour la conclusion, on fait comment ?
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789
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Re: X maths B 2018

Message par 789 » sam. avr. 13, 2019 8:26 pm

noro a écrit :
sam. avr. 13, 2019 6:51 pm
Von_ a écrit :
sam. avr. 13, 2019 6:24 pm
Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci
Attention les fonctions $ f $ et $ g_x $ ne sont pas continues pour cette norme.
Par exemple si $ P_n=\left(\frac{1+X}{2}\right)^n + \left(\frac{1-X}{2}\right)^n $ alors $ ||P_n||\rightarrow 0 $ mais $ f(P_n)=(1,1) $.
Pour prouver que $ A_N $ est fermé il faut s'y prendre autrement, par exemple en considérant les fonctions $ g_{x,x'}(P) = \int_{x}^{x'}P(t)dt $ qui elles sont bien continues et $ h^-_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{-1}^{-1+e}P(t)dt $ et $ h^+_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{1-e}^{1}P(t)dt $.
On travaille dans $\mathbb{R}_{N} [X]$ donc cette suite de fonctions ne fonctionne pas, d'ailleurs puisque $\mathbb{R}_N$ est de dim finie les fonctions $f$ et $g_x$ sont bien continues ici pour la norme infinie et donc pour la norme de l'énoncé par l'équivalence des normes...
2016-2018 : MPSI/MP*
2018-... : dept maths ENS de Lyon

789
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Re: X maths B 2018

Message par 789 » sam. avr. 13, 2019 8:40 pm

Aussi pour conclure tu peux simplement remarquer que $L = \left \| .\right \|_1$ sur $A_N$!
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Von_
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Re: X maths B 2018

Message par Von_ » sam. avr. 13, 2019 9:14 pm

789 a écrit :
sam. avr. 13, 2019 8:40 pm
Aussi pour conclure tu peux simplement remarquer que $L = \left \| .\right \|_1$ sur $A_N$!
Ah mais ouuii ... bruk! Merci :D
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Re: X maths B 2018

Message par noro » sam. avr. 13, 2019 9:27 pm

789 a écrit :
sam. avr. 13, 2019 8:26 pm
noro a écrit :
sam. avr. 13, 2019 6:51 pm
Von_ a écrit :
sam. avr. 13, 2019 6:24 pm
Bonjour,

Pour la question 2)-a de l'épreuve X maths B de l'an dernier, on doit montrer que l'inf de $ \left\{ L(P), P\in A_N\right\} $ avec $ L(P)=\int_{-1}^{1}P(x)dx $ où $ A_N =\left\{ P/ P(1)=P(-1)=1, P(x)\geq 0, \forall x\in[-1,1]\right\} $.$ \left \| P \right \|_1=\int_{-1}^{1}\left | P(x) \right |dx $ $ A_N $ est fermé car $ . A_N=f^{-1}(\left\{ {1,1}\right\} )\bigcap(\bigcap_{x\in [-1,1]}g^{-1}_x([0,\infty [)) $ où $ f:P\rightarrow (P(1),P(-1)) $ et $ g:P\rightarrow P(x) $ mais il n'est pas borné. Pour contourner cela, j'ai posé $ K=A_N\cap B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ car $ 1 \in A_N $, K est compact et donc le min est atteint dans K. Après faut montrer que $ inf _{P\in K} L(P)=inf _{P\in A_N} L(P) $.Donc, pour tout $ P\in A_N $, si $ P \in B(0,\left \| 1 \right \|_1) $ alors $ L(P)\geq inf _{P\in A_N} L(P) $ et sinon, je ne vois pas comment conclure ... J'ai $ \left \| P \right \|_1>1 $ mais je vois pas comment passer à L(P) ...
J'aimerais savoir si c'est correct ce que j'ai fait , et s'il y a d'autres méthodes pour résoudre la question.
Merci
Attention les fonctions $ f $ et $ g_x $ ne sont pas continues pour cette norme.
Par exemple si $ P_n=\left(\frac{1+X}{2}\right)^n + \left(\frac{1-X}{2}\right)^n $ alors $ ||P_n||\rightarrow 0 $ mais $ f(P_n)=(1,1) $.
Pour prouver que $ A_N $ est fermé il faut s'y prendre autrement, par exemple en considérant les fonctions $ g_{x,x'}(P) = \int_{x}^{x'}P(t)dt $ qui elles sont bien continues et $ h^-_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{-1}^{-1+e}P(t)dt $ et $ h^+_{e}(P) = \frac{1}{e}\times\int_{1-e}^{1}P(t)dt $.
On travaille dans $\mathbb{R}_{N} [X]$ donc cette suite de fonctions ne fonctionne pas, d'ailleurs puisque $\mathbb{R}_N$ est de dim finie les fonctions $f$ et $g_x$ sont bien continues ici pour la norme infinie et donc pour la norme de l'énoncé par l'équivalence des normes...
Oui effectivement, je suis désolé d'avoir mal lu le sujet...
Nothing happened.
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