Polynôme & racines simples

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Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Robinoub
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Polynôme & racines simples

Message par Robinoub » ven. avr. 26, 2019 4:02 pm

Bonjour,

Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »

Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)

Nabuco
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Nabuco » ven. avr. 26, 2019 4:05 pm

Robinoub a écrit :
ven. avr. 26, 2019 4:02 pm
Bonjour,

Je souhaiterais : « Montrer que X^n - X + 1 admet n racines simples dans C. »

Pourriez-vous m’apporter des éléments afin de mener à bien la démonstration ? (niveau MPSI)
Soit z une racine de P
Comment relier la notation z est une racine simple de P avec P'(z) ? Ensuite il suffit d appliquer cela dans ce cas là

Robinoub
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Robinoub » ven. avr. 26, 2019 4:40 pm

Nabuco a écrit :
ven. avr. 26, 2019 4:05 pm
Soit z une racine de P
Comment relier la notation z est une racine simple de P avec P'(z) ? Ensuite il suffit d appliquer cela dans ce cas là
z est une racine simple de P si elle n’est pas racine de P’ c’est à dire si P’(z) est différent de 0.

S’agirait-il de raisonner par l’absurde en supposant que z est une racine double et en montrant que le z qu’on obtient à partir des équations P(z) = 0 et P’(z) = 0 est absurde (où P = X^n - X + 1) ?

Enfin, ceci répondrait au fait que P n’a que des racines simples mais ne permettrait pas de justifier le fait que P admet autant de racines que son degré. :?:

Merci.

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Chronoxx
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Chronoxx » ven. avr. 26, 2019 4:44 pm

Robinoub a écrit :
ven. avr. 26, 2019 4:40 pm
Enfin, ceci répondrait au fait que P n’a que des racines simples mais ne permettrait pas de justifier le fait que P admet autant de racines que son degré. :?:
Dans $\mathbb{C}$, c'est le cas (théorème de d'Alembert-Gauss).
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Robinoub
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Robinoub » ven. avr. 26, 2019 4:49 pm

Chronoxx a écrit :
ven. avr. 26, 2019 4:44 pm
Dans $\mathbb{C}$, c'est le cas (théorème de d'Alembert-Gauss).
Ah oui, vous avez raison, merci ! :D

Robinoub
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Robinoub » ven. avr. 26, 2019 6:16 pm

Re-bonjour,

J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.

On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0

En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n (n est différent de 0 par définition)

Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)

Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
Modifié en dernier par Robinoub le ven. avr. 26, 2019 6:18 pm, modifié 2 fois.

Nabuco
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Nabuco » ven. avr. 26, 2019 6:17 pm

Robinoub a écrit :
ven. avr. 26, 2019 6:16 pm
Re-bonjour,

J’ai donc raisonné par l’absurde en supposant qu’il existait une racine double notée a.

On a alors :
a^n - a + 1 = 0 et na^(n-1) - 1 = 0

En utilisant la deuxième relation, on obtient : a^(n-1) = 1/n

Puis en utilisant ce résultat dans la première équation, on obtient :
a/n - a + 1 = 0 soit : a = n/(n-1)

Mais comment conclure que ce résultat est absurde ?
C est possible d avoir a^n-1 =1/n et a vaut n/n-1 ?

Robinoub
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Re: Polynôme & racines simples

Message par Robinoub » ven. avr. 26, 2019 6:29 pm

Nabuco a écrit :
ven. avr. 26, 2019 6:17 pm
C est possible d avoir a^n-1 =1/n et a vaut n/n-1 ?
L’absurdité viendrait donc de là... :o

Non je ne pense pas puisque si on avait ceci, on aurait alors : n^n = (n-1)^(n-1) ce qui est toujours faux dans N\{0,1} (la définition de n). Merci !

Cet exercice conduisait en fait au calcul d’un déterminant matriciel qui utilisait les racines du polynôme précédent, il fallait néanmoins justifier leur existence dans la première question (ce qui n’était pas très compliqué je l’avoue).

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