Déterminant & polynôme

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
Robinoub
Messages : 13
Enregistré le : jeu. févr. 21, 2019 12:45 am
Classe : MPSI

Déterminant & polynôme

Message par Robinoub » lun. avr. 29, 2019 12:58 am

(Ce sujet est en fait la continuité d’un exercice dont la première question avait déjà fait l’objet d’un autre sujet et je m’excuse pour cela).

Bonjour,

J’aimerais résoudre cet exercice :
Soient P = $ X^{n} $ - X + 1 et $ z_1 $, ..., $ z_n $ ses racines.

Calculer le déterminant de la matrice de terme général :
Pour tous i,j compris dans les entiers de 1 à n :
$ a_{i,j} $ = 1 + $ z_i $ si i = j
$ a_{i,j} $ = 1 sinon
J’ai beaucoup réfléchi mais aucune de mes méthodes n’abouties vraiment à un résultat convenable (j’avais notamment pensé à introduire le polynôme P dans le déterminant et de voir ce déterminant comme une fonction afin de se ramener à un déterminant d’une matrice triangulaire supérieure ou inférieure en évaluant en $ z_1 $, ..., $ z_n $).

Pourriez-vous m’apporter des éléments de réponse ?

Merci.
Modifié en dernier par Robinoub le lun. avr. 29, 2019 4:46 pm, modifié 2 fois.

Elekitu
Messages : 3
Enregistré le : dim. juin 17, 2018 9:33 pm

Re: Déterminant & polynôme

Message par Elekitu » lun. avr. 29, 2019 10:32 am

Essaye simplement de développer la formule du déterminant et de la simplifier en décomposant la somme astucieusement

Robinoub
Messages : 13
Enregistré le : jeu. févr. 21, 2019 12:45 am
Classe : MPSI

Re: Déterminant & polynôme

Message par Robinoub » lun. avr. 29, 2019 11:18 am

Elekitu a écrit :
lun. avr. 29, 2019 10:32 am
Essaye simplement de développer la formule du déterminant et de la simplifier en décomposant la somme astucieusement
J’ai essayé mais aucun développement intéressant ne permettait de se ramener comme je l’ai dis précédemment à un déterminant de matrice triangulaire (dont le calcul est très simple) ou de faire apparaître une formule de récurrence.

De plus, ça me semblerait bizarre qu’on introduise dans le déterminant les racines d’un polynôme sans pour autant utiliser à un moment le fait que ce sont des racines d’un polynôme. C’est pour cela que je pense que l’on doit introduire le polynôme dans le déterminant et/ou en utiliser les relations coefficients/racines mais je n’ai pas encore trouvé le moyen d’aboutir en faisant cela.

Elekitu
Messages : 3
Enregistré le : dim. juin 17, 2018 9:33 pm

Re: Déterminant & polynôme

Message par Elekitu » lun. avr. 29, 2019 11:35 am

C'est bien les relations coefficients/racines qui vont t'intéresser au bout d'un moment (même si je m'en suis servi assez tard et il y a peut-être une façon plus rapide et astucieuse de résoudre l'exercice). Quand je parlais de développer la formule du déterminant je parlais de la formule faisant intervenir la somme pour toute permutation de Sn

JeanN
Messages : 5304
Enregistré le : dim. sept. 04, 2005 7:27 pm
Localisation : Versailles

Re: Déterminant & polynôme

Message par JeanN » lun. avr. 29, 2019 1:20 pm

Robinoub a écrit :
lun. avr. 29, 2019 11:18 am
Elekitu a écrit :
lun. avr. 29, 2019 10:32 am
Essaye simplement de développer la formule du déterminant et de la simplifier en décomposant la somme astucieusement
J’ai essayé mais aucun développement intéressant ne permettait de se ramener comme je l’ai dis précédemment à un déterminant de matrice triangulaire (dont le calcul est très simple) ou de faire apparaître une formule de récurrence.

De plus, ça me semblerait bizarre qu’on introduise dans le déterminant les racines d’un polynôme sans pour autant utiliser à un moment le fait que ce sont des racines d’un polynôme. C’est pour cela que je pense que l’on doit introduire le polynôme dans le déterminant et/ou en utiliser les relations coefficients/racines mais je n’ai pas encore trouvé le moyen d’aboutir en faisant cela.
Développe ce déterminant comme le déterminant de la famille des colonnes dans la base canonique. Utilise la multilinéarité et l'alternance et les relations coefficients racines pour finir le calcul.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

Robinoub
Messages : 13
Enregistré le : jeu. févr. 21, 2019 12:45 am
Classe : MPSI

Re: Déterminant & polynôme

Message par Robinoub » lun. avr. 29, 2019 2:44 pm

Elekitu a écrit :
lun. avr. 29, 2019 11:35 am
C'est bien les relations coefficients/racines qui vont t'intéresser au bout d'un moment (même si je m'en suis servi assez tard et il y a peut-être une façon plus rapide et astucieuse de résoudre l'exercice). Quand je parlais de développer la formule du déterminant je parlais de la formule faisant intervenir la somme pour toute permutation de Sn
Je vois tout à fait de quelle formule vous parlez. Néanmoins, cette formule a juste été énoncé dans le cours et elle n’a pas encore été appliquée en exercice. De plus, les démonstrations où elle a été utilisée concernaient des matrices simples (composées de « beaucoup de 0 ») ce qui permettait de réduire l’expression de la somme. Mais dans notre cas, je ne vois pas du tout comment réduire et calculer ce déterminant avec la formule... :(

Pourriez-vous m’indiquer comment vous y êtes-vous pris ?
Modifié en dernier par Robinoub le lun. avr. 29, 2019 4:47 pm, modifié 1 fois.

Robinoub
Messages : 13
Enregistré le : jeu. févr. 21, 2019 12:45 am
Classe : MPSI

Re: Déterminant & polynôme

Message par Robinoub » lun. avr. 29, 2019 3:15 pm

JeanN a écrit :
lun. avr. 29, 2019 1:20 pm
Développe ce déterminant comme le déterminant de la famille des colonnes dans la base canonique. Utilise la multilinéarité et l'alternance et les relations coefficients racines pour finir le calcul.
C’est fait, merci ! :)

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 7 invités