Utilisation du théorème des fonctions implicites

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Marvinou
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Utilisation du théorème des fonctions implicites

Message par Marvinou » mar. avr. 30, 2019 8:28 pm

Bonjour,

J'aurais besoin d'aider pour l'utilisation et la compréhension du théorème des fonctions implicites, en Calcul Différentiel. Je pense avoir compris ce théorème (même si c'est presque impossible de retenir presque toutes les hypothèses), mais un exemple d'utilisation de ce théorème dans mon cours me turlupine. Pour éviter de tout recopier comme un barbare, voici la photo du cours, et de son exemple:

http://image.noelshack.com/fichiers/201 ... 101640.jpg

(je ne met que le lien car quand je met en balise [img] ça me met l'image tournée à gauche, ce qui est un peu dérangeant ...)

Comme vous pouvez le voir, il applique pas tout à fait le théorème des fonctions implicites, mais plutôt le corollaire. Mais je ne comprends pas ce qu'il a fait pour arriver à sa forme avec phi(w) ...
Car si je regarde, f(z,w) = conj(z)^p + z + w. Pour le calcul de sa différentielle, j'vais pas vous mentir, j'ai des doutes. Il fait ça le long de z, mais y'a un conjugué, y'a une puissance ... C'est pas facile de différencier ça, à part en utilisant la définition, et dans ce cas c'est le drame puisqu'on a une somme dégueulasse. Donc déjà là j'ai des doutes.
Ensuite, il applique le corollaire là, il existe phi qui vérifie phi( 0 ) = 0 telle que f(phi(w),w) = f(0,0) = 0
D'où conj(phi(w))^p + phi(w) + w = 0. Ce qui est la même formule qu'il a mit, au signe près devant w ... Est-ce une erreur de sa part ?

Dans la foulée, dans un TD, il faut appliquer ce théorème, mais je ne sais pas quelle fonction poser ... Voici l'exercice:
"Montrer qu'il existe epsilon > 0 tel que si A est une matrice de taille 2 x 2 dont les quatre coefficients sont dans ]-epsilon ; epsilon[, alors il existe une matrice X de taille 2 x 2 telle que A = X² + transposé(X)."

J'ai pensé poser f(A,X) = A - X² - transposé(X). Cette fonction est différentiable le long de X (du moins je présume, je ne suis pas rentré dans les calculs j'avoue). Mais au moment d'appliquer le théorème des fonctions implicites, je coince ...

Merci d'avance pour votre aide !

Zak_
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Re: Utilisation du théorème des fonctions implicites

Message par Zak_ » mar. avr. 30, 2019 8:50 pm

Salut, la différentiation se fait aisément non ? On a f(z+h,w+k) = f(z,w) + (pz^(p-1)+1)h + k + o(||(h,k)||). Ta somme "dégueulasse" gerte car la plupart des termes c'est des o(h)

Marvinou
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Re: Utilisation du théorème des fonctions implicites

Message par Marvinou » mar. avr. 30, 2019 8:54 pm

Oui, c'est vrai, j'avoue ne pas du tout avoir réfléchis de ce côté là ... Je n'ai pas osé regarder les termes de la somme.
Je suis aussi un peu embêté par le concept de "différentielle partielle". C'est une différentielle que dans un sens, non ? Donc est ce que je ne devrais pas regarder f(z + h,w) ?

Zak_
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Re: Utilisation du théorème des fonctions implicites

Message par Zak_ » mar. avr. 30, 2019 9:05 pm

Je pense que c'est ça, je connais que les dérivées partielles par rapport à une direction. Mais du coup ça donnerait juste f(z+h,w) = f(z,w) +h(dérivée partielle f/z) + o(h). Btw j'ai oublié une barre dans ma différentiation juste avant. C'est pconj(z)^p-1 et pas pz^p-1.

Marvinou
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Re: Utilisation du théorème des fonctions implicites

Message par Marvinou » mar. avr. 30, 2019 9:31 pm

D'accord ! Je crois voir ^^
Et que penses-tu de son application du théorème dans les exemples ? Y a-t-il une erreur de signe quelque part ? Car j'ai beau appliquer comme je peux le théorème, je ne vois pas comment aboutir à sa formule ...

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