Convergence en probabilité et convergence en loi

[Bienaymé Tchebychev]

Bonjour, j'ai une question concernant cet exercice, je l'ai écrite en rouge là où il y a le "pourquoi?" dans le lien de la page 02 du corrigé, car en effet dans le corrigé, je ne comprends pas comment on obtient ce que j'ai entouré en rouge ?

lien énoncé: https://goopics.net/i/yEm59

lien corrigé page 01 : https://goopics.net/i/vEmlg

lien corrigé page 02 : https://goopics.net/i/7JnRG

Merci d'avance pour votre réponse

Bonne journée

[JeanN]

F est la fonction de répartition associée à la variable aléatoire certaine égale à c.
C’est vrai que l’énoncé n’est pas très clair.

[Bienaymé Tchebychev]

Bonjour, d'accord merci.

Et pouvez-vous me dire, toujours concernant cette question 2)a) de l'exercice, pourquoi pour les deux endroits que j'ai entourés en rouge on enlève "c" dans le lien du corrigé ci-dessous ?


lien corrigé question 2)a) : https://goopics.net/i/gd3Z7

Merci d'avance pour votre réponse

[Hulst]

Bonjour B-T (ou FlorianDX),

$ F_X $ étant la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant la loi certaine égale à $ c $, $ F_X $ est non continue en $ c $.
Je te laisse lire la définition de la convergence en loi en vigueur dans les programmes de ECE2/ECS2 afin de conclure.

Les "polys MasterClass" sont manifestement surcotés...

[Bienaymé Tchebychev]

Bonjour, d'accord merci Hulst (excellent votre dernière remarque XD )

Et pouvez-vous me dire, toujours concernant cette question 2)a) de l'exercice, pourquoi à la première ligne du corrigé de la question 2)a) on a un "union" et non pas un "inter"?
Car c'est un "inter" qu'il faut, car pour avoir " |Xn-c| >epsilon", il faut qu'on ait à la fois "Xn < c-epsilon" ET "Xn >c+epsilon", car si on a "Xn<c-epsilon" alors "Xn-c<-epsilon" et si on a "Xn>c+epsilon", alors "Xn-c>epsilon", et on a besoin, à la fois de "Xn-c<-epsilon" et de "Xn-c>epsilon" pour avoir "-epsilon>Xn-c>epsilon", i.e. "|Xn-c|>epsilon" (c'est ce que j'ai indiqué en vert dans le lien du corrigé ci-dessous) ?


lien corrigé question 2)a) : https://goopics.net/i/KxOQm

Merci d'avance pour votre réponse

[Hulst]

Bonjour B-T,

Il te faut revoir calmement la résolution des inéquations $ \left(E_{a,b}\right):~\vert x-a\vert <b $ et $ \left(E'_{a,b}\right):~\vert x-a\vert >b $ d'inconnue $ x\in \mathbb{R} $, pour tout $ (a,b)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+^* $
Tes problèmes viennent de là.

[Bienaymé Tchebychev]

Bonjour Hulst, j'ai revu les inéquations en question mais je ne vois toujours pas car on a :

|Xn-c| > epsilon

i.e: -epsilon > Xn-c > epsilon

i.e: c-epsilon > Xn > c + epsilon

Donc on a bien : [|Xn-c| > epsilon] = [Xn < c-epsilon] ET [Xn > c+epsilon]

i.e.: [|Xn-c| > epsilon] = [Xn < c-epsilon] "inter" [Xn > c+epsilon]

Je ne vois pas où est mon erreur ?

[Nabuco]

Bonjour Hulst, j'ai revu les inéquations en question mais je ne vois toujours pas car on a :

|Xn-c| > epsilon

i.e: -epsilon > Xn-c > epsilon

i.e: c-epsilon > Xn > c + epsilon

Donc on a bien : [|Xn-c| > epsilon] = [Xn < c-epsilon] ET [Xn > c+epsilon]

i.e.: [|Xn-c| > epsilon] = [Xn < c-epsilon] "inter" [Xn > c+epsilon]

Je ne vois pas où est mon erreur ?

La deuxième ligne est fausse.
|Xn-c|>epsilon équivaut à Xn>c+epsilon OU Xn <c-epsilon

[Nabuco]

Si tu n es pas convaincu par la véracité de ce que je dis à la ligne 2 tu as écrit -epsilon>epsilon ce qui est absurde si epsilon >0

[Bienaymé Tchebychev]

Ah ok, donc si j'ai bien compris votre explication Nabuco pour ce type d'inéquation évoqué par Hulst et qui est l'origine de mon problème, c'est-à-dire:

|x-a|<b et |x-a|>b , on a toujours :


|x-a|<b

<=> -(x-a) <b OU (x-a)<b

<=> -x+a <b OU x-a <b

<=> -x <b-a OU x<b+a

<=> x>-b+a OU x<b+a


Et on a |x-a|>b

<=> -(x-a) >b OU (x-a)>b

<=> -x+a >b OU x-a >b

<=> -x >b-a OU x>b+a

<=> x<-b+a OU x>b+a

C'est bien ça ? (car malheureusement j'ai cherché mais je n'ai rien trouvé sur Internet quant à la résolution des inéquations du type |x-a|<b et |x-a|>b)