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Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Hicham alpha
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Message par Hicham alpha » dim. mai 05, 2019 1:51 am

Bonjour

merci de m'aider svp

soit f ∈ C ([a, b], R) tel que pour tout P ∈ Rn[X] : $ \int_{a}^{b} P(t)f(t)dt = 0 $
Montrer que f s'annule au moins n + 1 fois sur [a, b]

merci d'avance
bonne journée
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rickyy
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Re: integral

Message par rickyy » dim. mai 05, 2019 7:28 am

Est-ce que tu saurais déjà montrer qu'elle s'annule une fois ?
MPSI-MP*, Hoche -> ENS Rennes, Maths -> Doctorat, chargé de TD à l'ENS Rennes. -> Prof.

AhmedNasredinne
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Re: integral

Message par AhmedNasredinne » dim. mai 05, 2019 9:47 am

Bonjour,

Voici une solution que je propose, je n’ai que partiellement rédige mais si tu as des questions n’hésite pas. Je met en spoil si tu souhaites encore chercher.
SPOILER:
Supposons que f ne s’annule qu’en moins de n points. Et supprimons ceux en lesquels elle s’annule sans changer de signe : il reste p points a1,…,ap avec p<=n; je considère alors le polynôme P=(PI)k = 1ˆp(X-ak)

Qui est de degré P

Ce polynôme est combinaison des Xˆk pour 0<=k<=p<=n, et j’en déduis

L’intégrale de a à b de f(t)P(t)dt=0
D’autre part en comparant les tableaux de signe de P et f, on s’aperçoit que f(t)P(t) est de signe constant sur [a,b] : d’où on se retrouve avec une fonction continue de signe constant d’intégrale nulle
WJ.

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Hicham alpha
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Re: integral

Message par Hicham alpha » sam. mai 11, 2019 5:12 pm

rickyy a écrit :
dim. mai 05, 2019 7:28 am
Est-ce que tu saurais déjà montrer qu'elle s'annule une fois ?
oui :D
par exemple, si on choisit le polynome constante qui vaut 1, on peut montrer qu'il s'annule 1 fois :)
AhmedNasredinne a écrit :
dim. mai 05, 2019 9:47 am
Bonjour,

Voici une solution que je propose, je n’ai que partiellement rédige mais si tu as des questions n’hésite pas. Je met en spoil si tu souhaites encore chercher.
SPOILER:
Supposons que f ne s’annule qu’en moins de n points. Et supprimons ceux en lesquels elle s’annule sans changer de signe : il reste p points a1,…,ap avec p<=n; je considère alors le polynôme P=(PI)k = 1ˆp(X-ak)

Qui est de degré P

Ce polynôme est combinaison des Xˆk pour 0<=k<=p<=n, et j’en déduis

L’intégrale de a à b de f(t)P(t)dt=0
D’autre part en comparant les tableaux de signe de P et f, on s’aperçoit que f(t)P(t) est de signe constant sur [a,b] : d’où on se retrouve avec une fonction continue de signe constant d’intégrale nulle
WJ.
merci

merci pour vos réponses
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