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Bonjour,

Je suis en MPSI et notre professeur nous a fait un peu de hors-programme sur les actions de groupe. On a aussi eu un devoir sur ça et on l'a un peu utilisé en TD mais j'aimerais bien maintenant des exercices (plutôt qu'un long problème), pas forcément difficiles, sur le sujet, ou des petites questions, pour que je m'habitue au concept que je trouve intéressant. Vu que c'était apparemment avant au programme, auriez-vous par exemple un recueil des exercices autrefois posés sur le sujet, par exemple aux concours ? Parce que sur Internet je trouve pas beaucoup de choses en dehors de ce qui est donné en L3 ou à l'agrégation.

Naelvicoz a écrit : ↑

dim. mai 05, 2019 2:02 pm

Bonjour,

Je suis en MPSI et notre professeur nous a fait un peu de hors-programme sur les actions de groupe. On a aussi eu un devoir sur ça et on l'a un peu utilisé en TD mais j'aimerais bien maintenant des exercices (plutôt qu'un long problème), pas forcément difficiles, sur le sujet, ou des petites questions, pour que je m'habitue au concept que je trouve intéressant. Vu que c'était apparemment avant au programme, auriez-vous par exemple un recueil des exercices autrefois posés sur le sujet, par exemple aux concours ? Parce que sur Internet je trouve pas beaucoup de choses en dehors de ce qui est donné en L3 ou à l'agrégation.

Les actions de groupe étant plutôt au programme de L3 c est normal de ne pas trouver tellement plus facile. Éventuellement, tu peux regarder quelques exos des Cassini qui en font usage.

Il me semble que si ça a été au programme, ça ne l'est plus depuis au moins 1987.

Même en regardant dans des vieux trucs tels que Gourdon ou Ramis-Deschamps-Odoux, on ne trouve pas grand chose. Je ne pense pas qu'il y ait beaucoup de matière au niveau prépa.

T'as un problème d'Alain Troesch permettant d'explorer les bases des actions de groupe.
T'as des applications de tout ordre je pense.
Déjà, tu peux essayer de voir par exemple pourquoi tout groupe fini de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de Sn en utilisant les actions de groupe.
Vous avez sûrement dû voir l'équation aux classes dans votre devoir (sinon, c'est intéressant de l'établir), il en découle des résultats sympa en poussant un peu : lemme de Cauchy, existence de p-Sylow.
Le Gourdon est assez complet pour les rudiments.

Tout groupe d’ordre p^2 avec p premier est commutatif.

Il y aussi des choses dans la partie vocabulaire mathématique du Colmez, chapitre 2.11.1

https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/livre.pdf

L'exercice le plus «facile» dont je me souveigne, (c'est plus un résultat de cours qu'un exercice) c'est d'utiliser les actions de groupes pour montrer que le centre (l'ensemble des éléments d'un groupe qui commute avec tous les autres éléments de ce groupe) d'un groupe de cardinal $ p^r $ (avec p premier) est non trivial (ie différent du singleton élément neutre).

Merci ça me donne des pistes !

Déjà, tu peux essayer de voir par exemple pourquoi tout groupe fini de cardinal n est isomorphe à un sous-groupe de Sn en utilisant les actions de groupe.

Du moins, je ne vois pas ce que cette notion apporte ici pour établir ce résultat. C'est à peu près évident sans parler d'action de groupe, non ?

C'est pas si evident que ça. Ton plongement c'est une action en fait dans notre cas.

On l'a effectivement en exemple d'application dans le cours des actions de groupes car en 1 ligne il suffit de voir que le groupe agit fidèlement sur lui-même par translation à gauche. Mais on peut faire semblant de ne pas connaître les actions de groupe en faisant le calcul sur le morphisme associé. Mais du coup je trouve que le fait de connaître les actions de groupe fait instinctivement penser à ce morphisme, sans ça je ne sais pas si j'en aurais eu l'idée ! C'est surtout les différentes utilisations de la formule des classes qui sont intéressantes je trouve. Un exemple très simple même si ça sert à rien car la démo originale est facile mais j'aime bien : retrouver le théorème de Lagrange avec les actions de groupe !

Ce que je voulais dire, c'est : aucun résultat de la théorie n'est nécessaire pour constater le phénomène (pas d'équation aux classes etc.). Après tout, que les translations soient des bijections, c'est pas oufissime.

Plus intéressant peut-être : qu'est-ce que le fait que tout groupe fini soit un sous-groupe d'un certain groupe de permutation permet ensuite de développer comme idées ? C'est une question ouverte.