Projection orthogonale.

[jeda]

Bonjour

Je sollicite votre aide concernant un exo de math sup sur la projection orthogonale.

Soit E un espace euclidien. Soit p une projection.
Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si pour tout x de E
||p(x)|| $ \leq $ x

J'ai raisonné par double équivalence et j'ai montré que si p est une projection orthogonale alors on a bien l'inégalité.
Concernant le sens indirect je suis bloqué je n'arrive même pas à démarrer.

Si quelqu'un pourrait m'éclairer pour la démonstration dans le sens indirect.

[Skizzy]

Hello,

L'astuce est la même que celle de la démo de Cauchy-Schwarz.

Considère $ x \in Im(p) $ et $ y \in ker(p) $ et $ \lambda \in \mathbb{R} $.
Calcule $ || p(\lambda x + y) ||^2 $ et utilises l'hypothèse pour montrer que $ Im(p) $ et $ ker(p) $ sont orthogonaux.

[JeanN]

Sinon, tu peux prendre x dans l'orthogonal de Ker(p), vérifier que x et p(x)-x sont orthogonaux, appliquer le théorème de Pythagore et en déduire que l'orthogonal de Ker(p) est inclus dans Im(p).
Comme tu as déclaré que E était euclidien, tu peux conclure avec les dimensions.
La méthode proposée ci-dessus a le mérite de ne pas exploiter la dimension finie.

[jeda]

Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.

[Nabuco]

Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.

C est assez classique de faire des techniques de Dl en euclidien en gros de regarder ce que fait une égalité ou inrgalite si au lieu de l appliquer en x on l applique en x+ty. Le terme en t dans le dl sera souvent nul s il y a de bonnes conditions

[LuckmannTheLook]

Merci beaucoup pour votre réponse et j'ai réussi à prouver cette équivalence. Cependant je voulais savoir comment on pense à cette astuce qui consiste à introduire λ ? Surtout que λ joue un rôle essentiel dans la demo.

En effet, cette méthode variationnelle est assez classique (on introduit une variable continue $\lambda$) : tu l'as forcément déjà rencontrée dans ton cours, au moins pour la démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz

Une autre façon plus géométrique de procéder pour le sens indirect est de raisonner par contraposée : dessin à l'appui, on peut intuiter que si $p$ est un projecteur qui n'est pas un projecteur orthogonal, il existe un $x$ bien choisi qui mette en défaut l'inégalité. Pour s'en convaincre on pourra représenter dans le plan $F=\mathrm{Im} \, p$, $G=\mathrm{Ker} \, p$ et... $G^{\perp}$.