Exo sur le det

[Von_]

Bonjour, $ $
je bloque sur un exo :

Soient A,B deux matrices de Mn(R) avec rg(B)=1, montrer que $ det(A-B)det(A+B)\leq det(A^{2}) $.

J'ai pensé à un produit de matrices par blocs mais je ne vois pas d'où l'inégalité peut provenir. J'ai essayé aussi à regarder le polynôme $ P(x)=det(A+xB) $ et regarder $ Q(x)=P(x)P(-x) $ mais la formule obtenue pour la dérivée de Q est.. inexploitable vu sa complexité ...
Bref, pour toute indication/solution, je suis preneur.
Merci

[Nabuco]

Comme B est de rang 1 tu peux l'écrire PMQ avec P et Q inversibles et M la matrice dont tous les ocefficients sont nuls sauf le coefficient en 1,1 qui vaut 1. Avec cette idée tu peux montrer qu'il suffit de la montrer pour B=M et dans ce cas l'expression de gauche est bien plus maniable

[Von_]

C'est drôle parce que j'ai pensé à écrire B sous cette forme mais genre j'arrive pas à l'exploiter avec la M. Je vois pas comment l'expression de gauche devient plus maniable, j'ai effectué le produit matriciel mais ... sans résultat

[l'XenY]

Écrit le déterminant avec des ai,j et utilise la n-linearité du det

[Nabuco]

C'est drôle parce que j'ai pensé à écrire B sous cette forme mais genre j'arrive pas à l'exploiter avec la M. Je vois pas comment l'expression de gauche devient plus maniable, j'ai effectué le produit matriciel mais ... sans résultat

Déjà tu poses A=PRQ comme ça ça remplace A par R.
Ensuite pas besoin des ai,j, juste la linéarité du det par rapport à la première colonne.

[Von_]

Déjà tu poses A=PRQ comme ça ça remplace A par R.
Ensuite pas besoin des ai,j, juste la linéarité du det par rapport à la première colonne.

Pourquoi A=PRQ ? Désolé si je ne vois pas la méthode .. peux-tu expliciter la démo ?

[Nabuco]

Déjà tu poses A=PRQ comme ça ça remplace A par R.
Ensuite pas besoin des ai,j, juste la linéarité du det par rapport à la première colonne.

Pourquoi A=PRQ ? Désolé si je ne vois pas la méthode .. peux-tu expliciter la démo ?

On pose B=PMQ avec M la matrice évoquée précédemment, soit R telle que A=PRQ (i.e.R=P-1 A Q-1).
L'inégalité est équivalente par multiplicativité du det à det(R-M)det(R+M)<=det(R)^2.
Ensuite on utilise la linéarité du déterminant selon la première colonne : det(R-M) est le déterminant de la matrice avec pour colonnes entre 2 et n les colonnes de R, et pour première colonne la colonne 1 de R - la colonne 1 de M, donc det(R-M)=det(R)-det(R') ou R' est la matrice avec les mêmes colonnes entre 2 et n que R, et donc la première colonne est juste un 1 en position 1 puis des 0.
de même det(R+M)=det(R)+det(R')
bilan l'inégalité est équivalente à det(R)^2-det(R')^2<=det(R)^2 ce qui est maintenant évident.

[Von_]

Déjà tu poses A=PRQ comme ça ça remplace A par R.
Ensuite pas besoin des ai,j, juste la linéarité du det par rapport à la première colonne.

Pourquoi A=PRQ ? Désolé si je ne vois pas la méthode .. peux-tu expliciter la démo ?

On pose B=PMQ avec M la matrice évoquée précédemment, soit R telle que A=PRQ (i.e.R=P-1 A Q-1).
L'inégalité est équivalente par multiplicativité du det à det(R-M)det(R+M)<=det(R)^2.
Ensuite on utilise la linéarité du déterminant selon la première colonne : det(R-M) est le déterminant de la matrice avec pour colonnes entre 2 et n les colonnes de R, et pour première colonne la colonne 1 de R - la colonne 1 de M, donc det(R-M)=det(R)-det(R') ou R' est la matrice avec les mêmes colonnes entre 2 et n que R, et donc la première colonne est juste un 1 en position 1 puis des 0.
de même det(R+M)=det(R)+det(R')
bilan l'inégalité est équivalente à det(R)^2-det(R')^2<=det(R)^2 ce qui est maintenant évident.

Ah oui ...c'est parfait! Merciii