Intégrabilité sur R -> borné ?

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prepamath
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Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par prepamath » mar. juin 18, 2019 4:15 pm

Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,

Nabuco
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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par Nabuco » mar. juin 18, 2019 4:36 pm

prepamath a écrit :
mar. juin 18, 2019 4:15 pm
Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.

Zak_
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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par Zak_ » mar. juin 18, 2019 5:38 pm

Sinon un contre exemple un peu plus tordu :
$ f(x) = \frac{x}{1+x^5\sin^2(x)} $ est intégrable sur $ \mathbb{R}_+ $, $ \mathcal{C}^\infty $ non borné et de dérivée non bornée. Donc même en rajoutant des hypothèses de continuité t'as aucune raison que ça soit borné. Par contre t'as certaines hypothèses qui marchent : si c'est uniformément continu alors la limite est nulle en $ +\infty $, si c'est décroissant aussi ça marche. Après ce sera pas forcément borné, mais ça sera borné pour un voisinage de $ +\infty $.

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oty20
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Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Message par oty20 » jeu. juin 20, 2019 4:51 am

Nabuco a écrit :
mar. juin 18, 2019 4:36 pm
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.
C'est fou comme ce genre de construction devient naturelle et évident quand on étudie l'intégration au sens de Lebesgue.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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