Page 1 sur 1

Intégrabilité sur R -> borné ?

Publié : 18 juin 2019 16:15
par prepamath
Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,

Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Publié : 18 juin 2019 16:36
par Nabuco
prepamath a écrit :
18 juin 2019 16:15
Bonjour,
Est-ce qu'une fonction intégrable sur R est nécessairement bornée sur R ?
Merci à vous,
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.

Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Publié : 18 juin 2019 17:38
par Zak_
Sinon un contre exemple un peu plus tordu :
$ f(x) = \frac{x}{1+x^5\sin^2(x)} $ est intégrable sur $ \mathbb{R}_+ $, $ \mathcal{C}^\infty $ non borné et de dérivée non bornée. Donc même en rajoutant des hypothèses de continuité t'as aucune raison que ça soit borné. Par contre t'as certaines hypothèses qui marchent : si c'est uniformément continu alors la limite est nulle en $ +\infty $, si c'est décroissant aussi ça marche. Après ce sera pas forcément borné, mais ça sera borné pour un voisinage de $ +\infty $.

Re: Intégrabilité sur R -> borné ?

Publié : 20 juin 2019 04:51
par oty20
Nabuco a écrit :
18 juin 2019 16:36
Non, aucune raison, prend une fonction f affine par morceau vérifiant pour n>2 f(n)=0, f(n+ 2^(1-n))=0 et f(n+ 2^(-n))=n.
L'intégrable correspondra à l'aire sous la courbe, le n-ième triangle aura une aire de n* 2^(-n). La série de terme général n*2^(-n) convergeant, l'intégrale converge aussi.
C'est fou comme ce genre de construction devient naturelle et évident quand on étudie l'intégration au sens de Lebesgue.