Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

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Von_
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Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » mar. juin 18, 2019 4:58 pm

Bonjour,
Je ne vois pas comment traiter cet exo "rapidement" :
Soit $ A \in R_n[X] $ tel que $ \int_{0}^{1}A(t)dt\neq 0 $
On a $ \displaystyle \forall P \in \mathbb{R}_n[X],\ \varphi(P) = \int_0^1 P(t) dt \times A - \int_0^1 A(t) dt \times P $
Déterminer les éléments propres de cet endomorphisme $ \varphi $
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Nabuco
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » mar. juin 18, 2019 5:20 pm

calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.

Von_
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » mar. juin 18, 2019 6:19 pm

Nabuco a écrit :
mar. juin 18, 2019 5:20 pm
calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.
$ \varphi (A)=0 $ et si $ P \in R_n[X] $ vecteur propre de $ \varphi $ alors on distingue deux cas : Si $ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 $
alors la valeur propre associé est $ -\int_{0}^{1}A(t)dt $ mais comment déterminer la dimension du sous-espace propre associé ?

Et si $ \int_{0}^{1}P(t)dt \neq 0 $, comment procéder?
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789
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par 789 » mar. juin 18, 2019 6:43 pm

Von_ a écrit :
mar. juin 18, 2019 6:19 pm
Nabuco a écrit :
mar. juin 18, 2019 5:20 pm
calcul phi(A), et calcule phi(P) si P est un polynôme à intégrale entre 0 et 1 nulle. Ca te permettra de déterminer les valeurs propres et la dimension de l'espace caractéristique correspondant.
$ \varphi (A)=0 $ et si $ P \in R_n[X] $ vecteur propre de $ \varphi $ alors on distingue deux cas : Si $ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 $
alors la valeur propre associé est $ -\int_{0}^{1}A(t)dt $ mais comment déterminer la dimension du sous-espace propre associé ?

Et si $ \int_{0}^{1}P(t)dt \neq 0 $, comment procéder?
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
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Von_
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » mar. juin 18, 2019 6:55 pm

789 a écrit :
mar. juin 18, 2019 6:43 pm
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
Bah on cherche les éléments propres donc on prend P un vecteur propre et on distingue les cas.
Justement, je cherche la dimension de ce sous-espace propre, mais je crois que c'est n-1 . Si $ P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k $ alors on a $ \sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{k+1}=0 $ , donc la dimension est n-1
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Nabuco
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » mar. juin 18, 2019 7:34 pm

en particulier maintenant tu peux utiliser phi(A)

789
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par 789 » mar. juin 18, 2019 7:41 pm

Von_ a écrit :
mar. juin 18, 2019 6:55 pm
789 a écrit :
mar. juin 18, 2019 6:43 pm
Pourquoi supposer $ P $ vecteur propre ? Quelle est la dimension de $ \{ P \in R_n[X] , \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \} $ ?
Bah on cherche les éléments propres donc on prend P un vecteur propre et on distingue les cas.
Ce n'est pas forcément le raisonnement le plus direct.
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » mar. juin 18, 2019 7:44 pm

Nabuco a écrit :
mar. juin 18, 2019 7:34 pm
en particulier maintenant tu peux utiliser phi(A)
Je ne vois pas le rapport avec phi(A), peux-tu expliciter stp ?
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Message par Von_ » mar. juin 18, 2019 7:44 pm

789 a écrit :
mar. juin 18, 2019 7:41 pm
Ce n'est pas forcément le raisonnement le plus direct.
Je suis preneur de tout autre raisonnement direct.
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer

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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Nabuco » mar. juin 18, 2019 10:21 pm

phi(A)=0 donc A est vecteur propre
Ainsi que connais-tu sur les dimensions de Ker phi et Ker phi +int de 0 à 1 de A Id ? Bilan tu dois pouvoir expliciter ces espaces propres

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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par JeanN » mer. juin 19, 2019 12:07 am

Von_ a écrit :
mar. juin 18, 2019 7:44 pm
789 a écrit :
mar. juin 18, 2019 7:41 pm
Ce n'est pas forcément le raisonnement le plus direct.
Je suis preneur de tout autre raisonnement direct.
Utilise un résultat sur les hyperplans en dimension finie pour trouver un très gros sous-espace propre (attention, dim R_n[X] ne vaut pas n)
Ensuite, il ne te restera normalement plus qu'une valeur propre et une droite propre à trouver et c'est là que le calcul de phi(A) est utlle.
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par Von_ » jeu. juin 20, 2019 9:52 am

JeanN a écrit :
mer. juin 19, 2019 12:07 am
Utilise un résultat sur les hyperplans en dimension finie pour trouver un très gros sous-espace propre (attention, dim R_n[X] ne vaut pas n)
Ensuite, il ne te restera normalement plus qu'une valeur propre et une droite propre à trouver et c'est là que le calcul de phi(A) est utlle.
Oui, la dimension de $ \left \{ P\in R_n[X]/ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \right \} $ est n ( je me suis trompé au début ), car c'est un Hyperplan de $ R_n[X] $. Ensuite, A est vecteur propre lié à la valeur propre 0. Donc $ Vect(A) $ est un sous-espace propre de dimension 1.
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Re: Elements propres d'un endomorphisme de Rn[X]

Message par JeanN » jeu. juin 20, 2019 7:53 pm

Von_ a écrit :
jeu. juin 20, 2019 9:52 am
JeanN a écrit :
mer. juin 19, 2019 12:07 am
Utilise un résultat sur les hyperplans en dimension finie pour trouver un très gros sous-espace propre (attention, dim R_n[X] ne vaut pas n)
Ensuite, il ne te restera normalement plus qu'une valeur propre et une droite propre à trouver et c'est là que le calcul de phi(A) est utlle.
Oui, la dimension de $ \left \{ P\in R_n[X]/ \int_{0}^{1}P(t)dt=0 \right \} $ est n ( je me suis trompé au début ), car c'est un Hyperplan de $ R_n[X] $. Ensuite, A est vecteur propre lié à la valeur propre 0. Donc $ Vect(A) $ est un sous-espace propre de dimension 1.
Voilà .
Il ne te reste plus qu’à expliquer que la recherche des éléments propres s’achève ici.
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