Rédaction algèbre linéaire

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Fromhktosun
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Rédaction algèbre linéaire

Message par Fromhktosun » sam. juin 22, 2019 1:15 pm

Salut,

Je serai à la rentrée prochaine en MPSI et je me suis formé cette année en autodidacte sur le bouquin tout en un MPSI. J'ai avancé fastidieusement sur certains chapitres mais j'ai apprécié de me creuser la tête sur le cours. Je m'efforce à faire certains exercices afin de mettre en pratique la théorie acquise même si ce sera surtout l'objet de mes heures de maths en septembre prochain. Il y a une question que je me pose souvent. Par exemple, regardons l'exercice suivant :

Montrer que la famille formée des $ f_{\alpha}:x\mapsto x^{\alpha} $ avec $ \alpha\in\mathbb R $ est libre dans $ \mathbb R^{[1,+\infty[} $.

Voilà comment je m'y prendrais pour la rédaction. D'après le cours, il suffit de montrer que toute sous-famille finie est libre. Soit $ n\in\mathbb N^* $ et $ \alpha_0,\dots,\alpha_n\in\mathbb R $ deux à deux distincts. Quitte à réordonner les $ \alpha_i $, on peut supposer que $ \alpha_0<\dots <\alpha_n $. Soit $ (a_0,\dots,a_n)\in\mathbb R^{n+1} $ tel que $ a_0f_{\alpha_0}+\dots+a_nf_{\alpha_n}=0 $. Donc en divisant par $ f_{\alpha_n} $ qui ne s'annule pas, $ a_0 f_{\alpha_0-\alpha_n}+\dots+a_{n-1}f_{\alpha_{n-1}-\alpha_n}+a_n=0 $. Donc en passant à la limite en $ +\infty $, on obtient $ a_n=0 $. D'où $ a_0f_{\alpha_0}+\dots +a_{n-1}f_{\alpha_{n-1}}=0 $. En refaisant la même chose un nombre fini de fois, on obtient donc $ a_{n-1}=\dots=a_0=0 $. Donc la famille $ (f_{\alpha_0},\dots,f_{\alpha_n}) $ est libre, ce qui résout l'exercice.

Je lis un peu partout que la rigueur en MPSI doit être parfaite. Du coup, à la fin de mon exercice, lorsque je dis qu'en refaisant cela un nombre fini de fois, est-ce autorisé ? Je sais que je peux formaliser une récurrence évidente mais je trouve que ça n'apporte rien. Mais est-ce obligatoire de l'écrire ?

Nabuco
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Re: Rédaction algèbre linéaire

Message par Nabuco » sam. juin 22, 2019 1:41 pm

Si tu veux avoir une rédaction parfaite raisonne par l'absurde et introduit i l'entier maximum entre 0 et n tel que alpha_i est non nul. Tu peux refaire le même raisonnement (ou i devient n) pour avoir une rédaction parfaite. Après rédiger comme ça ne me semble pas choquant, mais considérer un max ou min des scalaires non nul ça sert assez souvent dans ces questions de liberté.

Fromhktosun
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Re: Rédaction algèbre linéaire

Message par Fromhktosun » sam. juin 22, 2019 1:50 pm

Ah merci je regarde !

JeanN
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Re: Rédaction algèbre linéaire

Message par JeanN » sam. juin 22, 2019 5:43 pm

La récurrence n’a rien d’une récurrence évidente en fait.
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Von_
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Re: Rédaction algèbre linéaire

Message par Von_ » sam. juin 22, 2019 6:20 pm

JeanN a écrit :
sam. juin 22, 2019 5:43 pm
La récurrence n’a rien d’une récurrence évidente en fait.
+1
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer

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