Exo X ( suite )
Exo X ( suite )
Bonjour,
Je ne parviens vraiment pas à résoudre cet exercice :
Soit u suite des réels strictement positifs, tel que $$ \frac{1}{n}\sum_{\ell=1}^nu_{\ell} \rightarrow + \infty $$,
Montrer que $$ \frac{1}{n^2}\sum_{\ell=1}^n \ell u_{\ell} \rightarrow + \infty $$
Concernant mes pistes de travail, j'ai essentiellement essayé une transformation d'Abel pour abaisser le l mais sans réussite...
Avez vous des pistes svp ?
Je ne parviens vraiment pas à résoudre cet exercice :
Soit u suite des réels strictement positifs, tel que $$ \frac{1}{n}\sum_{\ell=1}^nu_{\ell} \rightarrow + \infty $$,
Montrer que $$ \frac{1}{n^2}\sum_{\ell=1}^n \ell u_{\ell} \rightarrow + \infty $$
Concernant mes pistes de travail, j'ai essentiellement essayé une transformation d'Abel pour abaisser le l mais sans réussite...
Avez vous des pistes svp ?
Re: Exo X ( suite )
En posant S_k = somme des u_i jusqu'à k, tu auras que somme des l*u_l c'est la somme des S_k
On prend A >0, m tq pour n >=m, S_n >= A*n
Alors, somme des S_k entre m et n >= 1/2 * A*n^2 - A/2 * m^2
Quand tu divises par n^2, après avoir ajouté la somme entre 0 et m, tu auras une quantité >= A/3 pour n assez grand
Ça donne la divergence vers +inf!
On prend A >0, m tq pour n >=m, S_n >= A*n
Alors, somme des S_k entre m et n >= 1/2 * A*n^2 - A/2 * m^2
Quand tu divises par n^2, après avoir ajouté la somme entre 0 et m, tu auras une quantité >= A/3 pour n assez grand
Ça donne la divergence vers +inf!
2016-2017 TS Spé Maths
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
2017-2018 MPSI Condorcet
2018-2019 MP* Condorcet
2019-.. : Jussieu, Licence de mathématiques
Re: Exo X ( suite )
Il me semble que l'estimation $\frac{1}{n^{2}} \sim \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ aide ici.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exo X ( suite )
*On va d'abord montrer le résultat dans un premier temps si la suite des moyennes de Cesàro converge.
Je vais volontairement utiliser le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes (pour faire une transformée d'Abel plus rapidement, mais il s'agissait de la bonne idée!)
On note pour $ x\geq 1, $ $ \displaystyle A(x):=\sum_{1 \leq k \leq x}u_{l}. $ Par hypothèse, on a $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{A(x)}{x}=\ell. $
On a alors pour $ x\geq 1, $
\begin{align*}
B(x):= \sum_{1 \leq k\leq x} ku_{k} & =\int_{1}^{x}tdA(t)\\
& = \left[tA(t)\right]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}A(t)\\
& := \textbf{(1)} - \textbf{(2)}
\end{align*}
On a d'une part $\displaystyle \textbf{(1)}=xA(x)+O(1)$
puis pour $ 1 \ll L\leq x, $ on a par l'inégalité triangulaire intégrale et pour une constante $C>0,$
\begin{align*}
\big\vert \textbf{(2)}-\frac{x^{2}-1}{2}\ell \big\vert & \leq \int_{1}^{x}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert tdt\\
& \leq \int_{1}^{L}\vert \frac{A(t)}{t}-l \vert tdt+ \int_{L}^{x}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert tdt\\
& \leq CL^{2}+ Cx^{2}\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert.
\end{align*}
Il vient alors en divisant par $ \displaystyle \frac{1}{x^{2}} $ l'égalité définissant $ B $ pour avoir pour une certaine constante absolue $ C>0 $ :
$ \displaystyle \big\vert \frac{B(x)}{x^{2}}-\left( \frac{A(x)}{x}-\frac{\ell}{2} \right) \big\vert \leq C\left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{L^{2}}{x^{2}} +\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert \right). $
Il vient alors $ \displaystyle \limsup_{x\rightarrow +\infty} \vert \frac{B(x)}{x^{2}}-\frac{\ell}{2}\vert \leq C\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert. $
Puis le résultat voulu, à savoir $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{B(x)}{x^{2}}=\frac{\ell}{2}, $ en faisant tendre $ L $ vers $ +\infty. $
Je vais volontairement utiliser le formalisme des intégrales de Lebesgue-Stieljes (pour faire une transformée d'Abel plus rapidement, mais il s'agissait de la bonne idée!)
On note pour $ x\geq 1, $ $ \displaystyle A(x):=\sum_{1 \leq k \leq x}u_{l}. $ Par hypothèse, on a $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{A(x)}{x}=\ell. $
On a alors pour $ x\geq 1, $
\begin{align*}
B(x):= \sum_{1 \leq k\leq x} ku_{k} & =\int_{1}^{x}tdA(t)\\
& = \left[tA(t)\right]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}A(t)\\
& := \textbf{(1)} - \textbf{(2)}
\end{align*}
On a d'une part $\displaystyle \textbf{(1)}=xA(x)+O(1)$
puis pour $ 1 \ll L\leq x, $ on a par l'inégalité triangulaire intégrale et pour une constante $C>0,$
\begin{align*}
\big\vert \textbf{(2)}-\frac{x^{2}-1}{2}\ell \big\vert & \leq \int_{1}^{x}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert tdt\\
& \leq \int_{1}^{L}\vert \frac{A(t)}{t}-l \vert tdt+ \int_{L}^{x}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert tdt\\
& \leq CL^{2}+ Cx^{2}\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert.
\end{align*}
Il vient alors en divisant par $ \displaystyle \frac{1}{x^{2}} $ l'égalité définissant $ B $ pour avoir pour une certaine constante absolue $ C>0 $ :
$ \displaystyle \big\vert \frac{B(x)}{x^{2}}-\left( \frac{A(x)}{x}-\frac{\ell}{2} \right) \big\vert \leq C\left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{L^{2}}{x^{2}} +\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert \right). $
Il vient alors $ \displaystyle \limsup_{x\rightarrow +\infty} \vert \frac{B(x)}{x^{2}}-\frac{\ell}{2}\vert \leq C\sup_{t\geq L}\vert \frac{A(t)}{t}-\ell \vert. $
Puis le résultat voulu, à savoir $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{B(x)}{x^{2}}=\frac{\ell}{2}, $ en faisant tendre $ L $ vers $ +\infty. $
Dernière modification par BobbyJoe le 03 juil. 2019 10:53, modifié 5 fois.
Re: Exo X ( suite )
J'ai aussi la réponse si on remplace +infini par une limite finie en écrivant
$$ \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k u_k = \frac{S_n}{n}-\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} S_{k-1} $$ et en sommant les o(-) mais j'avoue que je ne vois pas trop comment faire le cas d'une limite infinie.
Les situations comme $$ S_n=2^n $$ et $$ S_n=n^2 $$ donnent des termes $$ \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} S_{k-1} $$ assez différents asymptotiquement par rapport à $$ \frac{S_n}{n} $$
Les situations comme $$ S_n=2^n $$ et $$ S_n=n^2 $$ donnent des termes $$ \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} S_{k-1} $$ assez différents asymptotiquement par rapport à $$ \frac{S_n}{n} $$
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exo X ( suite )
voici ma proposition de solution :
On pose $$A_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{u_{k}}{n} \to +\infty$$ et $$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}$$ ,
On a :
$$\sum \frac{lu_{l}}{n^{2}}=\frac{u_{1}}{n^{2}}+\sum_{l=2}^{n} \frac{l}{n^{2}} (lA_{l}-(l-1)A_{l-1})$$
$$=\sum_{l=1}^{n} \frac{l^{2}A_{l}}{n^{2}}- \sum_{l=2}^{n} \frac{(l-1)^{2}A_{l-1}}{n^{2}}-\sum_{l=2}^{n} \frac{A_{l-1}}{n^{2}} $$
$$=A_{n}-\sum_{l=1}^{n-1} \frac{A_{l}}{n^{2}} ,~~~~(1)$$
Maintenant comme les termes sont strictement positifs on majore :
$$A_{k}=\frac{u_{1}+...+u_{k}}{k} \leq \frac{S_{n}}{k}$$
Soit donc d’après (1) :
$$\sum_{l=1}^{n} \frac{lu_{l}}{n^{2}} \geq A_{n} - (\frac{S_{n}}{n^{2}}) (\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l})$$
$$ \geq [1- \frac{1}{n}(\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l})] A_{n} $$
$$\geq (1-\frac{\ln(n)}{n}+o(\frac{\ln(n)}{n}) )A_{n}$$
Ce qui permet de conclure sauf erreur...
On pose $$A_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{u_{k}}{n} \to +\infty$$ et $$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}$$ ,
On a :
$$\sum \frac{lu_{l}}{n^{2}}=\frac{u_{1}}{n^{2}}+\sum_{l=2}^{n} \frac{l}{n^{2}} (lA_{l}-(l-1)A_{l-1})$$
$$=\sum_{l=1}^{n} \frac{l^{2}A_{l}}{n^{2}}- \sum_{l=2}^{n} \frac{(l-1)^{2}A_{l-1}}{n^{2}}-\sum_{l=2}^{n} \frac{A_{l-1}}{n^{2}} $$
$$=A_{n}-\sum_{l=1}^{n-1} \frac{A_{l}}{n^{2}} ,~~~~(1)$$
Maintenant comme les termes sont strictement positifs on majore :
$$A_{k}=\frac{u_{1}+...+u_{k}}{k} \leq \frac{S_{n}}{k}$$
Soit donc d’après (1) :
$$\sum_{l=1}^{n} \frac{lu_{l}}{n^{2}} \geq A_{n} - (\frac{S_{n}}{n^{2}}) (\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l})$$
$$ \geq [1- \frac{1}{n}(\sum_{l=1}^{n} \frac{1}{l})] A_{n} $$
$$\geq (1-\frac{\ln(n)}{n}+o(\frac{\ln(n)}{n}) )A_{n}$$
Ce qui permet de conclure sauf erreur...
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exo X ( suite )
(1) est faux à cause d'une erreur dans la troisième somme de la ligne précédente (oubli d'un l-1).
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exo X ( suite )
Merci, j'ai été trop rapide...
On se retrouve avec le même problème que vous avez signalé dans votre précédent poste
On se retrouve avec le même problème que vous avez signalé dans votre précédent poste
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .