Avec ou sans récurrence

[pihro]

Bonjour,

Je viens de lire l'énoncé suivant : "on considère la suite $ u $ vérifiant $ u_0=1 $, $ u_1=6 $ et pour tout $ n\geq 0, u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n $. On demande de montrer que pour tout $ n\in\mathbf{N}, u_n=(1+n)3^n $."

La solution propose une récurrence. Je ne comprends pas pourquoi celle-ci est utile. On sait que la suite définie par l'énoncé est unique (ça me semble évident ; peut être est-ce ici qu'il y a un problème) : ne suffit-il pas de vérifier que la suite donnée par l'énoncé satisfait la relation de récurrence et que ses premiers termes sont égaux à 1 et 6 respectivement ?

Cordialement,
Pihro

[JeanN]

Si.
Parfois, il y a plusieurs manières de rédiger une preuve donc ce n’est pas la peine de s’enflammer.

[btsix]

C'est justement par récurrence qu'on montre que l'énoncé détermine la suite.

[JeanN]

Je maintiens que la solution alternative proposée est une preuve parfaitement recevable.

[Nabuco]

Je maintiens que la solution alternative proposée est une preuve parfaitement recevable.

btsix ne dit pas le contraire, mais le fait qu'une suite est bien défini et unique à partir de ses premiers termes par une relation de récurrence repose sur une récurrence à priori. Certes la démo n'utilise pas de récurrence à priori mais elle en utilise une implicitement (dans un résultat précédent).

[JeanN]

Ok
Comme je n’avais pas vraiment compris le message de btsix, j’ai préféré clarifier ma position pour l’auteur du message initial.

[pihro]

Merci pour vos réponses, qui lèvent mes derniers doutes