Une suite définie par récurrence

[Tristan33]

Bonjour,

on considère la suite suivante :
$ u_{0} $ avec $ 0 < u_{0} < \frac{\sqrt{5}-1}{2} $
et $ u_{n+1} = 1 - u_{n}^2 $

Je ne trouve pas d'arguments simples pour justifier que $ (u_{2n}) $ converge vers 0.

C'est écrit dans le corrigé directement, c'est que ça doit être simple, non ?

Après petit calcul, on trouve la relation suivante :
$ v_{n+1} = v_{n}^2 \times (2 - v_{n}^2) $ avec $ v_{n} = u_{2n} $

(On aura alors la suite des termes de rangs impairs qui convergent vers 1 et donc la suite diverge)

Merci pour votre aide.

[Nabuco]

La fonction x donne x^2(2-x^2) est croissante sur [0,1]. Par récurrence immédiate vn est dans [0,1], et comme vn+1=f(vn) avec f croissante et vn est bornée, vn est monotone et converge
Aussi P=X^2(2-X^2) -X est un polynôme de degré 4 qui s'annule en 0, 1, (rac(5)-1)/2 (et la quatrième racine est négative et peut se calculer car la somme des racines vaut 0 d'après les relations coefficients racines). En particulier on peut factoriser P et obtenir que P est strictement négatif sur ]0, rac(5)-1/2[. En particulier vn décroit et converge vers une racine de P donc vers 0.

[Tristan33]

@Nabuco
Merci
Je n'ai juste pas compris le début de ta réponse.

comme vn+1=f(vn) avec f monotone et vn est bornée, vn

Je pense que la phrase n'est pas finie, et qu'il manque le mot 'monotone' ? Dans ce cas, je ne vois pourquoi $ (v_{n}) $ est monotone.

[Nabuco]

@Nabuco
Merci
Je n'ai juste pas compris le début de ta réponse.

comme vn+1=f(vn) avec f monotone et vn est bornée, vn

Je pense que la phrase n'est pas finie, et qu'il manque le mot 'monotone' ? Dans ce cas, je ne vois pourquoi $ (v_{n}) $ est monotone.

J'aurai dû rajouter f croissante (f monotone ne suffit pas)
vn est monotone (c'est un résultat classique que si f est une fonction croissante et vn une suite définie par vn+1=f(vn) alors vn est monotone (par exemple si v1<= v0, alors vn+1 =f°n(v_1)<=f°n(v_0)=v_n, même raisonnement dans l'autre cas). Mais ce n'est pas utile pour le reste du raisonnement (en effet ça donne juste l'existence d'une limite mais pas laquelle).

[Tristan33]

@Nabuco
D'accord, je comprends pour la monotonie de $ (v_{n}) $
Pour la suite, si j'ai bien compris :
$ P := X^2 \times (2 - X^2 ) - X = X(X-1)(X - \frac{\sqrt{5}-1}{2})(X+a) $ avec $ a > 0 $
Mais alors si $ 0 < x < \frac{\sqrt{5}-1}{2} $, on a : $ x > 0, x-1 < 0, x- \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 0, x + a > 0 $
Donc $ P(x) > 0 $ Non ?

Je ne vois pas non plus pourquoi on s'intéresse à l'intervalle $ ]0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}[ $. Parce que es termes de $ (v_{n}) $ sont tous dedans ? La conjecture s'avère vraie mais est-ce facile à voir ?

(Cet exercice me perturbe car le corrigé donne l'impression que tout se voit, je veux bien accéder à ce stade, où les étapes du raisonnement paraissent naturelles.)

Merci encore

[Nabuco]

@Nabuco
D'accord, je comprends pour la monotonie de $ (v_{n}) $
Pour la suite, si j'ai bien compris :
$ P := X^2 \times (2 - X^2 ) - X = X(X-1)(X - \frac{\sqrt{5}-1}{2})(X+a) $ avec $ a > 0 $
Mais alors si $ 0 < x < \frac{\sqrt{5}-1}{2} $, on a : $ x > 0, x-1 < 0, x- \frac{\sqrt{5}-1}{2} < 0, x + a > 0 $
Donc $ P(x) > 0 $ Non ?

Je ne vois pas non plus pourquoi on s'intéresse à l'intervalle $ ]0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}[ $. Parce que es termes de $ (v_{n}) $ sont tous dedans ? La conjecture s'avère vraie mais est-ce facile à voir ?

(Cet exercice me perturbe car le corrigé donne l'impression que tout se voit, je veux bien accéder à ce stade, où les étapes du raisonnement paraissent naturelles.)

Merci encore

Sur ta factorisation tu as oublié que le coefficient dominant c'est -1 pas 1 ce qui change tout. En particulier via ce calcul 0 et rac(5)-1/2 sont points fixes de f. Comme f est croissante tu peux prouver facilement par récurrence que pour tout n v_n est dans l'intervalle.

[Tristan33]

@Nabuco

effectivement, merci pour tout