Polynomes

[Hicham alpha]

Bonjour
Merci de m'aider svp dans l'exo suivant :
Soit n ∈ N. Déterminer l'ensemble des polynômes P ∈ Rn[X] à coefficients positifs tels que $ P(e^{\frac{iπ} {n}} ) $) ∈ R.

Merci d'avance
Bonne journée

[Onhitgg]

Cherche les conditions sur k pour que exp(ipi/n)^k soit réel. Cherche aussi ce que cela fait lorsque l'on somme les racines nième de l'unité.

[Shark13]

Bonjour
Merci de m'aider svp dans l'exo suivant :
Soit n ∈ N. Déterminer l'ensemble des polynômes P ∈ Rn[X] à coefficients positifs tels que $ P(e^{\frac{iπ} {n}} ) $) ∈ R.

Merci d'avance
Bonne journée

Ce serait pas plutôt N* ?

[Onhitgg]

Oui

[Hicham alpha]

Cherche les conditions sur k pour que exp(ipi/n)^k soit réel.

k doit être 0 ou 1, sinon exp(ipi/n)^k ne soit pas réel. non ?

Cherche aussi ce que cela fait lorsque l'on somme les racines nième de l'unité.

Une somme nulle

[Krik]

Fais simplement un dessin : regarde dans quelle partie du plan se trouvent les $ e^{\frac{ik\pi} {n} } $ pour $ k $ entre $ 0 $ et $ n $, et où peuvent bien être leurs combinaisons linéaires à coefficients positifs.

[Onhitgg]

Cherche les conditions sur k pour que exp(ipi/n)^k soit réel.

k doit être 0 ou 1, sinon exp(ipi/n)^k ne soit pas réel. non ?

Cherche aussi ce que cela fait lorsque l'on somme les racines nième de l'unité.

Une somme nulle

La deuxième oui la première non pour k=1 avec exp(i pi/3)^1 ça ne marche pas. Cherche plutôt par rapport à n.

[Hicham alpha]

Désolé, j'ai voulu écrire k doit être 0 ou n. (je sais pas pourquoi j'ai écrit 1 haha)