Question sur les séries

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Question sur les séries

Message par Onhitgg » jeu. sept. 05, 2019 11:07 pm

Bonjour est ce qu'il y a équivalence entre la convergence vers 0 des restes d'une série et la convergence de la série ? Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple
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Re: Question sur les séries

Message par Kindred » jeu. sept. 05, 2019 11:39 pm

Comment définis-tu les restes d'une série divergente ?
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Re: Question sur les séries

Message par Onhitgg » ven. sept. 06, 2019 12:08 am

Là j'avoue ne pas comprendre où vous voulez en venir.
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Re: Question sur les séries

Message par Onhitgg » ven. sept. 06, 2019 12:11 am

Je pense qu'il y a équivalence comme on définit les restes de la série par Rn= S-Sn avec S la limite de la série et Sn la somme partielle.
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Re: Question sur les séries

Message par Kindred » ven. sept. 06, 2019 12:15 am

@Onhitgg

La notion de reste d'une série n'est définie (en tout cas dans mes cours) que pour une série convergente.

Comme tu dis, il faut que la série admette une limite S (qui est alors finie) et le reste est Rn = S - Sn.
Si la série n'est pas convergente, alors la limite est infinie donc on ne peut pas parler de Rn = S - S

Corrigez moi si je me trompe.

@Dattier je n'ai pas tout à fait compris la définition que vous proposez :/
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Re: Question sur les séries

Message par Onhitgg » ven. sept. 06, 2019 12:30 am

Ça me semble logique. Donc c'est une équivalence ?
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Re: Question sur les séries

Message par JeanN » ven. sept. 06, 2019 11:14 am

Onhitgg a écrit :
jeu. sept. 05, 2019 11:07 pm
Bonjour est ce qu'il y a équivalence entre la convergence vers 0 des restes d'une série et la convergence de la série ? Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple
Pour que le reste d’une série existe, il est nécessaire qu’il y ait convergence de la série et automatiquement, la suite des restes tend vers 0.
Ce résultat ne doit pas être considéré comme un critère de convergence.
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Re: Question sur les séries

Message par Kindred » ven. sept. 06, 2019 12:13 pm

Dattier a écrit :
ven. sept. 06, 2019 12:57 am
Kindred a écrit :
ven. sept. 06, 2019 12:15 am
@Dattier je n'ai pas tout à fait compris la définition que vous proposez :/
Sans avoir la convergence du reste, on peut très bien avoir convergence de la limite du reste par encadrement.

Prends par exemple $\sum \limits_{k=n}^{N}u_k=\dfrac{(-1)^N}{n}$

Je ne comprends pas ce que vous appelez "reste" et "limite du reste" dans vos deux messages :/
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Message par U46406 » ven. sept. 06, 2019 1:17 pm

Kindred a écrit :
ven. sept. 06, 2019 12:13 pm
reste
Moi non plus, mais je pense que c'est défini dans un dictionnaire de mathématiques :

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9ri ... onvergente
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Re: Question sur les séries

Message par Kindred » ven. sept. 06, 2019 3:56 pm

Je vois.
R,n,k c'est une sorte de "tranche de Cauchy"
Le truc c'est que les restes d'une série (convergente) sont définies justement en faisant varier le paramètre n (et le "k" est déjà à l'infini dans cette définition)
Modifié en dernier par Kindred le ven. sept. 06, 2019 4:01 pm, modifié 1 fois.
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Re: Question sur les séries

Message par Siméon » ven. sept. 06, 2019 9:15 pm

La condition dont parle Dattier, qui s'écrit
$$
\sup_{N \geqslant n} \left|\sum_{k=n}^N u_k \right| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0,
$$
traduit exactement le critère de Cauchy, et donc la convergence de la série $\sum_k u_k$ par complétude de $\mathbb R$. Autrement dit, il n'y a aucun contre-exemple à attendre de ce côté là... Peut-être que ce critère satisfera Onhitgg, mais il serait tout de même bon qu'après toutes ces réponses il finisse par comprendre que sa question n'a pas de sens.

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Re: Question sur les séries

Message par Siméon » ven. sept. 06, 2019 9:39 pm

Dattier, il suffit de considérer la suite des sommes partielles pour établir la convergence !

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Re: Question sur les séries

Message par Siméon » ven. sept. 06, 2019 9:49 pm

Bof, tes $ R_{n,k} $ ne correspondent à aucune série. Tu es hors-sujet là.

Puisque tu peines à prouver la convergence, je te rappelle le critère de Cauchy dans le cas d'une suite de réels $(S_n)$ :
$$
\sup_{N \geqslant n} \left|S_N - S_n\right| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.
$$
Modifié en dernier par Siméon le ven. sept. 06, 2019 9:51 pm, modifié 1 fois.

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Re: Question sur les séries

Message par Siméon » ven. sept. 06, 2019 9:55 pm

Je te l'ai déjà dit, reviens aux sommes partielles !
$$
S_n = \sum_{k=0}^n u_k
$$

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Re: Question sur les séries

Message par Siméon » ven. sept. 06, 2019 11:28 pm

À un décalage près, c'est bien cela.

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