Pierre le fermier et Jules le métalleux DM maths

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Pierre le fermier et Jules le métalleux DM maths

Message par Az00x » 24 oct. 2019 02:44

Bonsoir,
Je viens vous demander de l’aide pour mon DM de maths que j’ai du mal à commencer. Si vous voulez bien m’aider, merci d’avance!


Pierre le fermier et Jules le métalleux discutent :

« Devine l’âge de mon fils sachant qu’il est racine d'un polynôme P à coefficients entiers relatifs
-Je crois qu’il a 7 ans.
-Ah non, P(7) 77 , il est plus vieux.
-Dans ce cas il a le même âge que mon chien.
-Non plus! Si y est l’âge de mon chien, P(y) = 85. Il est encore plus vieux
-C’est bon, j'ai trouvé.

Le but de l'exercice est de faire comme Jules le métalleux et de trouver l'age du fils... ainsi que l’âge du chien! On reprend les notations du dialogue et on appelle alpha€N l’âge du fils.

1)Donner les restes des divisions euclidiennes de P par X-7 et par X-y.

2)il est immédiat (et donc on 'admettra) que si A€Z[X] alors, pour tout n€Z, A(n)€Z. Montre qu’il existe k€Z tel que k*(y-7)-8. En déduire que y - 7 = 1,2,4 ou 8.

3)Montrer que alpha-7= 1,7,11 ou 77.

4)Donner les quatre valeurs possibles de alpha-y.

5)Quel âge a le fils ? Et le chien ?


Pour la question 1) je ne sais pas commencer exprimer P.
2) j’ai tenté de faire une récurrence.
3) j’ai essayer la même chose que dans 2)
4) et 5) j’ai pas encore fait

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Re: Pierre le fermier et Jules le métalleux DM maths

Message par 1sala23 » 24 oct. 2019 15:07

J'ai l'impression qu'il y a beaucoup d'erreurs de recopiage, P(7) = 77 nan ? ("ton chien" plutôt que "mon chien")

Et surtout, question 2 : qu'il existe $ k \in \mathbb{Z}, k(y-7)-8 $ la ca n'a pas vraiment de sens, je suppose que c'est = 8 pour la suite.

La première question, écrit les divisions euclidiennes avec des indéterminées : P = Q(X-7) + R, puis utilise les valeurs de P que l'on te donne dans l'énoncé.
Q2 : Sur quoi as-tu fait ta récurrence ?
Tout d'abord pour obtenir l'égalité, écrire P sous deux formes (cf Q1) et regarder ce que tu peux en faire (c'est flou, mais une fois la question 1 faite tu y verras plus clair)
Si on a $ k(y-7)=8 $, y-7 divise 8 donc ...

Q3 : On sait que $ \alpha $ est racine de P, il faut l'exploiter ! (Encore une fois, sur quoi as-tu fait la récurrence ?)

Q4 et 5, reviens une fois les trois premières faites
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