Quels démonstrations exigibles à l'ENS ?

[JeanN]

Sois plutôt irréprochable sur tous les petits trucs de base dont la démonstration est facile et qu'on te reprochera de ne pas retrouver aux plus grands concours

Oui, c'est exactement ça.

[MATHADOR]

Pour l'"unicité du cardinal" : sous-entendu pour un ensemble fini. L'essentiel est de savoir justifier la "définition" (*) qu'on donne au cardinal d'un ensemble la première fois qu'on le découvre en prépa, donc pour un ensemble fini. Même à Ulm, il est par exemple hors de question d'exiger d'un candidat la notion d'ordinal initial aboutissant à celle "satisfaisante" (si on peut dire ça) de cardinal. Après, j'espère que n'importe quel taupin sait que $ X\mapsto \text{Card}(X) $ n'est pas injective.

Quant à la démonstration du théorème de convergence dominée dont parle fakbill, ce n'est pas de celle là dont on parle (qui se démontre en à peu près 5 lignes avec "la bonne" (même si c'est subjectif) théorie comme tu dis). J'ai eu un prof de spé qui nous a donné un complément de cours sur l'intégrale de Lebesgue sur $ \mathbb R $. Franchement, cela n'apporte rien d'un point de vue concours, à part de la perte de temps, surtout que ce sera fait en long, en large et en travers l'année suivante.

(*) Plus précisément, on ne sait pas définir le cardinal d'un ensemble quelconque en prépa, mais plutôt le fait que deux ensembles ont le même cardinal. Je me souviens que ça m'avait marqué à l'époque.

[fakbill]

Bah on ne fait pas de theorie des ensemble en prépa et heureusement donc wtf Tout au plus parle t on un peu du coup classique de l'ensemble de tous les ensembles mais sans plus.

Pour l'intégration, en effet, la prevue á la main de la convergence dominée n'eclaire en rien la question.
5 lignes avec Lebesgues mais combien de pages de théorie avant d'y arriver? C'est le principe des théories mathématiques : ells permettent de compresser l'information.

[rickyy]

(*) Plus précisément, on ne sait pas définir le cardinal d'un ensemble quelconque en prépa, mais plutôt le fait que deux ensembles ont le même cardinal. Je me souviens que ça m'avait marqué à l'époque.

En même temps, définir le cardinal en général (en gros en dehors du cas fini ou dénombrable) est quelque chose d'assez pointu, on tombe vite dans des problèmes de type hypothèse du continu et axiome du choix.