Travail d'un processus de frottement

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Hibiscus
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Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:06 am

Une petite question sur un exercice (officiellement de niveau taupe) pour lequel j'ai une solution peu jolie.
Cet exercice est tiré du (merveilleux) "200 Puzzling Physics Problems", de Gnadig et al. que certains profs de prépa recommendent.

L'énoncé (mal) traduit est le suivant :
"Un bâton uniforme (m,l) est soutenu à ses bouts par le bout de mes deux index. Alors que je rapproche mes doigts lentement vers le centre du bâton, ce dernier glisse sur l'un d'entre eux. (assez facile à se représenter). En supposant le coefficient de friction statique plus faible que celui cinétique, quel travail fournis-je pendant ce processus ?"

Je précise que j'ai une solution analytique longue, sous forme d'intégrales sur petits intervalles.
Les réactions normales exercées sur la barre par mes doigts ne sont pas égales en général. Donc la force de friction statique est plus petite d'un côté que de l'autre, et c'est là où le glissement se produira. Endroit où alors la force de friction cinétique augmente (puisque ça bouge), et dès que ce terme devient plus grand que la friction statique de l'autre côté, ça glisse de l'autre côté.
Donc : mon doigt gauche bouge \( dx \), mon doigt droit compense \( dx_2 \), et je fais alterner glissement et "collage" à chaque doigt.
En "sommant" chacun de ces processus, et après calcul intégral pénible,
\( W = mg \mu_{cin} \frac{l}{2}\lbrack ln(2/(1+k)), +(k+k^2+k^3..)ln(1/k) \) donc deux possibilités, si k très petit devant 1
\( W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l\cdot ln(2) \) ou \( W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l \).

Vu la "simplicité" du résultat, je reste convaincue qu'il y a une approche plus intelligente, mais mon expérience en mécanique est très limitée...
(Comme c'est un exercice "solvable" à niveau prépa, pas d'approche lagrangienne/hamiltonienne.)
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » lun. déc. 11, 2017 11:12 am

Tu as oublié le "Qu'en pensez-vous ?" à la fin de ton message. :mrgreen:

(Je regarde ça.)
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ?)
Modifié en dernier par siro le lun. déc. 11, 2017 11:19 am, modifié 1 fois.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:15 am

J'aurais du préciser, pour ne pas perturber siro dans ses habitudes de réponse à D.E.
Cet barre est de longueur 140 000 km, et a pour objectif de prouver l'existence d'une forme de vie extraterrestre.
Qu'en pensez-vous ?

Satisfait ?
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:19 am

siro a écrit :
lun. déc. 11, 2017 11:12 am
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ? Est-ce que tu considères que le travail lors du glissement/basculement fait partie du travail fourni ? Ou est-ce que tu arrêtes de sommer au moment où ça bascule ?)
Saleté de physicien théorique.
En comptant les distances à partir du centre, x pour le gauche, y pour le droit.
Si on décompose en ces différentes "périodes", tu as \( x_0=y_0=L/2 \). On suppose que c'est gauche en premier, parce que x c'est plus joli.
donc \( x_0 \rightarrow x_1 = kl/2 \) A ce moment là, c'est le droit qui commence à bouger, à index gauche constant. \( y_0 \rightarrow y_1 = k^2 l/2 \).
Donc j'arrête de sommer au moment ou ya égalité entre les deux, enf ait. Au moment ou ça devrait basculer si on ne le bouge pas.

Comme les forces de friction sont de la forme \( F_{fr}=\mu_{cin}mg\frac{x}{x+y} \), le ln viendra de là.
Modifié en dernier par Hibiscus le lun. déc. 11, 2017 11:23 am, modifié 2 fois.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » lun. déc. 11, 2017 11:20 am

Hibiscus a écrit :
lun. déc. 11, 2017 11:15 am
J'aurais du préciser, pour ne pas perturber siro dans ses habitudes de réponse à D.E.
Cet barre est de longueur 140 000 km, et a pour objectif de prouver l'existence d'une forme de vie extraterrestre.
Qu'en pensez-vous ?

Satisfait ?
Très.

PS : "Recommendent" ? 8)
PPS : Pense à dire que c'est une antériorité et donc que c'est non brevetable.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » lun. déc. 11, 2017 11:21 am

Hibiscus a écrit :
lun. déc. 11, 2017 11:19 am
siro a écrit :
lun. déc. 11, 2017 11:12 am
(PS: à quel moment est-ce que tu veux considérer que tu arrêtes le travail ? Est-ce que tu considères que le travail lors du glissement/basculement fait partie du travail fourni ? Ou est-ce que tu arrêtes de sommer au moment où ça bascule ?)
Saleté de physicien théorique.
En comptant les distances à partir du centre, x pour le gauche, y pour le droit.
Si on décompose en ces différentes "périodes", tu as \( x_0=y_0=L/2 \). On suppose que c'est gauche en premier, parce que x c'est plus joli.
donc \( x_0 \rightarrow x_1 = kl/2 \) A ce moment là, c'est le droit qui commence à bouger, à index gauche constant. \( y_0 \rightarrow y_1 = k^2 l/2 \).
Donc j'arrête de sommer au moment ou ya égalité entre les deux, enf ait. Au moment ou ça devrait basculer si on ne le bouge pas
Qui te dit que ça ne bascule pas avant ? :mrgreen:
Tu supposes tes doigts d'épaisseur négligeable ? 8) (je te taquine, là, je cherche une situation plus élégante parce que j'ai pas envie de bosser)
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:22 am

siro a écrit :
lun. déc. 11, 2017 11:20 am
PS : "Recommendent" ? 8)
Anglicisme impardonnable, milles excuses.

Le problème d'une situation plus élégante, du genre "mes doigts sont identiques", c'est que ya plus de problème :D
Mes doigts sont d'une délicatesse nacrée à toute épreuve, donc.... voui mon capitaine !
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par bullquies » lun. déc. 11, 2017 11:40 am

Question peut-être bête : qu'est-ce qui m'empêche de supposer que je bouge un doigt totalement jusqu'au milieu, puis c'est l'autre doigt qui rejoint le milieu ? Si la réponse au problème est unique, on devrait pouvoir faire un calcul simple à partir de ce cas extrême (sauf si j'ai pas les idées claires)

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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » lun. déc. 11, 2017 11:44 am

Ton bâton chute avant.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:47 am

Si l'hypothèse est friction statique < cinétique, ça veut pas dire justement que tu peux pas bouger comme ça ? Je veux bien faire le calcul pour voir si ça redonne la même chose, mais je pense qu'il va y avoir un problème de facteur numérique
(je viens de réaliser qu'en français on disait dynamique au lieu de cinétique...)
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Message par siro » lun. déc. 11, 2017 12:04 pm

Hum techniquement, tu dois pouvoir, et à pile poil la moitié du bâton, tu arrives au point de basculement. Du coup, moitié du trajet pour doigt A, puis moitié du trajet pour doigt B et zou, c'est bon c'est dans la poche !
PS: je viens de vérifier par l'expérience, ça fonctionne :mrgreen:
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 12:23 pm

siro a écrit :
lun. déc. 11, 2017 12:04 pm
Hum techniquement, tu dois pouvoir, et à pile poil la moitié du bâton, tu arrives au point de basculement. Du coup, moitié du trajet pour doigt A, puis moitié du trajet pour doigt B et zou, c'est bon c'est dans la poche !
PS: je viens de vérifier par l'expérience, ça fonctionne :mrgreen:
Oui, mais ça tu perds le facteur 1/2, qui malheureusement est la bonne réponse d'après les auteurs.
Je pense que dans leur formulation du problème, tu dois bouger les doigts "en même temps", à un décalage infinitésimal près, qui viendrait du défaut humain.

Ton expérience marche parce que tu as des gros doigts veineux pré-sénilité :D
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par siro » lun. déc. 11, 2017 12:31 pm

Hibiscus a écrit :
lun. déc. 11, 2017 12:23 pm
siro a écrit :
lun. déc. 11, 2017 12:04 pm
Hum techniquement, tu dois pouvoir, et à pile poil la moitié du bâton, tu arrives au point de basculement. Du coup, moitié du trajet pour doigt A, puis moitié du trajet pour doigt B et zou, c'est bon c'est dans la poche !
PS: je viens de vérifier par l'expérience, ça fonctionne :mrgreen:
Oui, mais ça tu perds le facteur 1/2, qui malheureusement est la bonne réponse d'après les auteurs.
Je pense que dans leur formulation du problème, tu dois bouger les doigts "en même temps", à un décalage infinitésimal près, qui viendrait du défaut humain.
Autre hypothèse : supposons que le coeff de frottement soit de f d'un côté, et f' de l'autre. Alors le poids fait que d'un côté ça frotte et ça glisse de l'autre, jusqu'à un point de basculement où ça inverse glissement/frottement, et ainsi de suite. (Je sais pas si c'est exactement ça que t'as fait, parce que chez moi c'est pas des intervalles infinitésimaux, c'est plutôt macroscopique comme intervalle.)
Ton expérience marche parce que tu as des gros doigts veineux pré-sénilité :D
Calleux, post-escalade. D'où le gros frottement.
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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Néodyme » lun. déc. 11, 2017 8:29 pm

La règle de Sommerfeld...

Je n'ai pas tout compris vis à vis du résultat. C'est quoi le résultat final annoncé par le livre ? C'est ton expression avec mu_cin ?
Du coup ça ne dépend pas de mu_statique ?
Avec ton raisonnement, tu retrouves ceci en supposant k << 1 ? j'imagine que ça revient à supposer mu_cin presqu'égal à mu_stat. Ce qui explique pourquoi mu_stat disparait du résultat final.
Et donc, dans cette limite là, est-ce qu'on ne peut pas justement supposer que le mouvement est symétrique ? ie que la distance entre point d'appui droit et centre, et point d'appui gauche et centre, est la même. Et donc les forces aussi. Et donc c'est plus simple ?
Enfin je ne sais pas...

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Re: Travail d'un processus de frottement

Message par Hibiscus » lun. déc. 11, 2017 11:09 pm

Le résultat annoncé est celui que je trouve, à savoir
\( W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l\cdot ln(2) \) si k<<1 ou \( W= \frac{\mu_{cin} mg}{2} l \) si k est de l'ordre de 1.
Le second cas correspond à assumer l'égalité des deux \( \mu \), j'approxime juste \( \frac{k}{1-k} ln(1/k) = 1 \)
(puisque k est le rapport entre le coefficient cinétique et le coefficient statique.)

A mes yeux, le premier cas correspond effectivement à assumer que tout le travail peut s'effectuer d'un coup, et le second qu'il est symétrique, oui.
Le problème, c'est que la définition correcte de ces deux cas, (notamment parce qu'avec ces notations, un doigt ne peut glisser que tant que \( x>ky \) (et vice-versa), je n'obtiens cette réponse qu'en faisant cette approche de type Sommerfeld. Qui me paraît délirante au vu de la "simplicité" de l'écriture du résultat.
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