Symétries en électromagnétisme

[EuroPhysics]

Si la solution d'un problème est unique,
si l'énoncé de ce problème est invariant dans une certaine symétrie
et si les lois gouvernant ce problème sont invariantes dans cette symétrie,
alors la solution de ce problème est invariante dans cette symétrie

Démonstration : si la solution n'était pas invariante,
il y aurait deux solutions, la solution et sa symétrique.

Les lois de l'électromagnétisme sont des lois normales,
invariantes dans les opérations de symétrie usuelles.
A noter que par contre, l'interaction faible n'est pas invariante
dans la symétrie par rapport à un plan.

Bonjour Jean-Marc,

Merci pour cette précision.

Connaissez-vous le problème de la boule fluide (le fluide présente une certaine viscosité) en rotation uniforme autour de son diamétre vertical ?
Les effets de pesanteur sont négligés.

Un probléme où la symétrie de révolution azimuthale est, de toute évidence, acquise.

Tout un chacun affirmera que, lorsqu'elle tourne, la surface de la sphére est une surface de révolution.

En fait, cette solution existe mais seulement en deçà d'une certaine vitesse angulaire critique.

Au dela de cette vitesse angulaire critique la boule prend la forme d'un oeuf dont le grand axe est perpendiculaire à l'axe de rotation ne respectant plus de ce fait la symétrie évoquée ci-dessus.

Qu'en pensez-vous ?

Par ailleurs, à l'éclairage de ce que vous dites, quelle est votre position quant à la question posée en électromagnétisme ?

En régime variable, E(M,t) appartient t'il à tout plan de symétrie de la source passant par M ?

[Quetzalcoatl]

Qu'en pensez-vous ?

Que la solution n'est pas unique, comme dans beaucoup de problème d'équilibre. Les solutions ont une stabilité qui varient en fonction de paramètres.


Sinon, plus ou moins HS : d'où viennent ces questions si différentes les unes des autres ? Vous êtes en train de faire quoi en classe ?

[EuroPhysics]

Qu'en pensez-vous ?

Que la solution n'est pas unique, comme dans beaucoup de problème d'équilibre. Les solutions ont une stabilité qui varient en fonction de paramètres.


Sinon, plus ou moins HS : d'où viennent ces questions si différentes les unes des autres ? Vous êtes en train de faire quoi en classe ?

Bonjour,

Ce ne sont pas des questions mais des sujets de réflexion pour avoir l'avis des uns et des autres. C'est toujours intéressant de discuter de physique.

[omamar3131]

Bonjour Omamar3131,

L'argument est intéressant mais quel lien existe t'il entre une propriété SPATIALE d'invariance de la source (que tu appelles "les conditions initiales symétriques" et que j'appellerais plutôt "les conditions aux limites symétriques") et la causalité qui est plutôt une absence de symétrie TEMPORELLE.

JMD a très bien exprimé ce que je voulais dire.

En ce qui concerne le problème de la boule fluide (que je ne connais pas), il me semble contradictoire de pouvoir montrer l'unicité de la solution proposée. Car en changeant de repère (inversons par exemple le sens de l'axe de rotation), on parvienderait à montrer que c'est un oeuf dans l'autre sens. Cela défie le sens commun.

[XD]

Tout un chacun affirmera que, lorsqu'elle tourne, la surface de la sphére est une surface de révolution. En fait, cette solution existe mais seulement en deçà d'une certaine vitesse angulaire critique. Au dela de cette vitesse angulaire critique la boule prend la forme d'un oeuf dont le grand axe est perpendiculaire à l'axe de rotation ne respectant plus de ce fait la symétrie évoquée ci-dessus.

C'est un exemple de brisure de symétrie. Le principe de Curie affirme que les effets ont au moins les symétries des causes... et là il semble violé (perte de la symétrie de révolution autour de l'axe de rotation). En fait, il se généralise pour tenir compte des brisures de symétrie (Curie n'en avait pas tenu compte). En gros :
- soit la solution est unique, et elle a toutes (voir plus) les symétries du problème
- soit elle n'est pas unique, et elle n'a pas toutes les symétries du problème initial, mais les dfférentes solutions (enfin, celles qui sont géométriquement équivalentes, càd obtenues essentiellement par des rotations) prises ensemble ont la symétrie de départ. Dans le cas cité, une rotation de "l'oeuf" autour de l'axe de rotation donne une nouvelle solution, et on voit bien que l'ensemble des "oeufs" obtenus par rotation autour de l'axe de rotation a la symétrie de révolution attendue !

La physique regorge de brisures de symétries : beaucoup d'instabilités en mécanique des fluides, des systèmes mécaniques (flambage des poutres, ou encore l'exo classique avec un ressort dont une extrémité est attachée en un point d'un axe vertical et l'autre qui peut se déplacer sur un axe horizontal : un ou deux positions d'équilibre stable suivant la longueur à vide du ressort...), transitions de phase...

[JMD]

Si la distribution de charge et de courant
possède à tout instant un plan de symétrie,
le champ électrique en un point de ce plan est situé dans ce plan
et le champ magnétique en un point de ce plan est perpendiculaire à ce plan

Pour ce qui est du problème de la boule fluide, avez-vous une référence ?

[EuroPhysics]

Bonjour Omamar3131,

L'argument est intéressant mais quel lien existe t'il entre une propriété SPATIALE d'invariance de la source (que tu appelles "les conditions initiales symétriques" et que j'appellerais plutôt "les conditions aux limites symétriques") et la causalité qui est plutôt une absence de symétrie TEMPORELLE.

JMD a très bien exprimé ce que je voulais dire.

En ce qui concerne le problème de la boule fluide (que je ne connais pas), il me semble contradictoire de pouvoir montrer l'unicité de la solution proposée. Car en changeant de repère (inversons par exemple le sens de l'axe de rotation), on parvienderait à montrer que c'est un oeuf dans l'autre sens. Cela défie le sens commun.

Bonsoir Omamar3131,

Et pourtant c'est vrai. Ce problème a été étudié et ses solutions sont telles que je les ai décrites.

Mais là, j'ai l'explication. On peut s'étonner que la solution n'ait pas la symétrie de la sphère initiale (invariance par rotation azimuthale) mais en réalité il existe un infinité "d'oeufs" solution qui se déduisent tous les uns des autres par des rotations autour de l'axe vertical.

Ici la solution n'a pas la symétrie de la sphère initiale mais l'ENSEMBLE des solutions l'a.

[EuroPhysics]

Tout un chacun affirmera que, lorsqu'elle tourne, la surface de la sphére est une surface de révolution. En fait, cette solution existe mais seulement en deçà d'une certaine vitesse angulaire critique. Au dela de cette vitesse angulaire critique la boule prend la forme d'un oeuf dont le grand axe est perpendiculaire à l'axe de rotation ne respectant plus de ce fait la symétrie évoquée ci-dessus.

C'est une brisure de symétrie. Le principe de Curie affirme que les effets ont au moins les symétries des causes... et là il semble violé (perte de la symétrie de révolution autour de l'axe de rotation). En fait, il se généralise pour tenir compte des brisures de symétrie (Curie n'en avait pas tenu compte). En gros :
- soit la solution est unique, et elle a toutes (voir plus) les symétries du problème
- soit elle n'est pas unique, et elle n'a pas toutes les symétries du problème initial, mais les dfférentes solutions (enfin, celles qui sont géométriquement équivalentes, càd obtenues essentiellement par des rotations) prises ensemble ont la symétrie de départ. Dans le cas cité, une rotation de "l'oeuf" autour de l'axe de rotation donne une nouvelle solution, et on voit bien que l'ensemble des "oeufs" obtenus par rotation autour de l'axe de rotation a la symétrie de révolution attendue !

La physique regorge de brisures de symétries : beaucoup d'instabilités en mécanique des fluides, des systèmes mécaniques (flambage des poutres, ou encore l'exo classique avec un ressort dont une extrémité est attachée en un point d'un axe vertical et l'autre qui peut se déplacer sur un axe horizontal : un ou deux positions d'équilibre stable suivant la longueur à vide du ressort...), transitions de phase...

Bonjour,

Bravo !

Xavier Ducros a dit vrai. Une brisure de symétrie, c'est bien de ça qu'il s'agit ici.

Le flambage des poutres est bien entendu l'autre exemple simple connu.

[omamar3131]

Bonjour Omamar3131,

L'argument est intéressant mais quel lien existe t'il entre une propriété SPATIALE d'invariance de la source (que tu appelles "les conditions initiales symétriques" et que j'appellerais plutôt "les conditions aux limites symétriques") et la causalité qui est plutôt une absence de symétrie TEMPORELLE.

JMD a très bien exprimé ce que je voulais dire.

En ce qui concerne le problème de la boule fluide (que je ne connais pas), il me semble contradictoire de pouvoir montrer l'unicité de la solution proposée. Car en changeant de repère (inversons par exemple le sens de l'axe de rotation), on parvienderait à montrer que c'est un oeuf dans l'autre sens. Cela défie le sens commun.

Bonsoir Omamar3131,

Et pourtant c'est vrai. Ce problème a été étudié et ses solutions sont telles que je les ai décrites.

Mais là, j'ai l'explication. On peut s'étonner que la solution n'ait pas la symétrie de la sphère initiale (invariance par rotation azimuthale) mais en réalité il existe un infinité "d'oeufs" solution qui se déduisent tous les uns des autres par des rotations autour de l'axe vertical.

Ici la solution n'a pas la symétrie de la sphère initiale mais l'ENSEMBLE des solutions l'a.

On se place donc bien dans un cadre physique non déterministe, ou alors, on n'a pas toutes les informations.(puisque la solution n'est pas unique) N'allons pas jusqu'à évoquer la théorie quantique et le non détérminisme. Mais ici il peut tout simplement s'agir d'un manque de conditions initiales ou à un manque de lois physiques! Comme j'aime bien les maths, on pourrait faire une analogie avec Kurt!

[EuroPhysics]

Si la distribution de charge et de courant
possède à tout instant un plan de symétrie,
le champ électrique en un point de ce plan est situé dans ce plan
et le champ magnétique en un point de ce plan est perpendiculaire à ce plan

Pour ce qui est du problème de la boule fluide, avez-vous une référence ?

Bonjour Jean Marc,

Non malheureusement. Mais le problème étant connu on ne devrait pas avoir trop de mal à trouver quelque chose à ce sujet sur le web.
Et d'ailleurs voila ce que je viens de trouver :
http://www.phys.ens.fr/~dormy/MHD/GdR/P ... Lacaze.pdf
Ce n'est pas l'article d'origine mais à mon avis ça a quelque chose à voir.
Il y a quelques références dans le document.

En ce qui concerne le plan de symétrie qui existe à tout instant en régime variable, ce qui est une sacrée contrainte, je crains qu'il ne puisse exister que dans un régime variable particulier : le régime permanent.

Finalement j'ai bien envie de conclure cette discussion en disant que les arguments de symétries pouraient s'appliquer en régime variable mais c'est tellement compliqué que ça ne présente aucune utilité. (sauf dans le cas d'une source ponctuelle pour les raisons que j'ai exposé plus haut)

Un peu comme si on voulait appliquer le théorème de Gauss sans connaitre la forme géométrique des équipotentielles.......