Pseudos et vrais vecteurs

Répondre
ET

Pseudos et vrais vecteurs

Message par ET » 14 janv. 2012 18:18

Bonjour,

On lit parfois que "en raison de leurs propriétés de symétrie, B est un pseudo-vecteur et E un vrai vecteur". Je comprends pas vraiment l'origine de la distinction pseudo vs. vrai, mais je veux bien admettre et prendre ça comme une définition. Par contre aujourd'hui je lis dans un bouquin (le Sanz de PC* pour ne pas le citer) que puisque le moment cinétique met en jeu le produit vectoriel de deux vrais vecteurs, c'est un pseudo-vecteur.

Quel est le lien avec les symétries de B et E ? Et donc qu'est-ce qu'un vrai vecteur et un pseudo-vecteur, puisque manifestement j'ai pas compris ? Quelle est l'origine de cette dénomination (pour moi comme ils ont tous trois composantes ce sont tous des vecteurs, et puis ça s'arrête là :mrgreen: ) ?

Merci de vos réponses.

Messages : 9679

Inscription : 30 juil. 2008 16:59

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par fakbill » 14 janv. 2012 18:39

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur
La différence étant donc que ces bébêtes ne réagissent pas de la même façon à un changement de base.
Pour ce qui est de E et de B, si on fait la théorie avec des quadrivecteurs et la relat restreinte alors tout devient plus naturel.

Messages : 1153

Inscription : 09 avr. 2010 16:49

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par compol » 14 janv. 2012 18:57

J'en parlais avec Dubblee hier !
En sup, dans le cours sur les espaces euclidiens, on a défini le produit vectoriel de 2 vecteurs u et v de R^3 comme étant l'unique vecteur w tel que l'application linéaire x->[u,v,x] coincide avec x->(w|x) , où [.,.,.] désigne le déterminant dans une base orthonormée DIRECTE de R^3, et (.|.) est le produit scalaire canonique sur R^3. On voit bien avec cette définition, que si on s'amusait à faire de la Physique dans des bases INDIRECTES, alors tous les vecteurs découlant d'un produit vectoriel de 2 "vrais vecteurs" suivraient la règle de la main gauche au lieu de celle de la main droite... Ce qu'on ne fait jamais en pratique, fort heureusement.

ET

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par ET » 14 janv. 2012 22:02

Merci pour vos réponses, merci Fakbill pour le lien. Tout ça me semble en fait purement mathématique, j'ai du mal à faire le lien avec la physique : si j'ai une certaine distribution de courants, a priori le champ B qu'elle crée est intrinsèque, et ne dépend pas du tout de la base, si ? Autant pour le moment cinétique je pense voir le truc à peu près, autant pour B je vois pas.

Fakbill, est-ce que tu pourrais m'expliquer rapidement et avec les mains pourquoi c'est naturel en relat ? J'ai étudié l'EM relativiste, avec les quadrivecteurs etc, mais le cours était peu pédagogique et ultra calculatoire, et j'ai bien appris à multiplier des quadrivecteurs et utiliser les notations de covariance/contravariance, mais j'ai vraiment pas compris la physique qui est derrière.

Messages : 9679

Inscription : 30 juil. 2008 16:59

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par fakbill » 14 janv. 2012 22:24

http://en.wikipedia.org/wiki/Relativist ... omagnetism : je n'ai pas tout lu dans le détail et il est possible que ça pipote dans les coins mais en gros c'est le début de la façon de voir "B est une correction de la théorie electrostatique pour que cette théorie marche qq le reference frame...ce qui est exactement la relativité".

"One part of the force between moving charges we call the magnetic force. It is really one aspect of an electrical effect."
- Feynman Lectures vol. 2, ch. 1-1

[edit]

g.m

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par g.m » 15 janv. 2012 03:09

Je te redis plus ou moins les choses comme on me les a apprises.

Considère un vecteur AB et son image A'B' via une symétrie de plan P. En faisant un dessin, on voit que par cette symétrie :
- La composante parallèle au plan P est conservée
- La composante normale est transformée en son opposée
Un vecteur qui vérifie de telles lois de transformation est dit un vrai vecteur. Ainsi un vecteur bipoint est un vrai vecteur, donc la position (vecteur OM) aussi, tout comme la vitesse (proportionnelle à dOM), l'accélération, la densité de courant j, ...
On peut aussi se convaincre en considérant le gradient d'une distribution symétrique que le vecteur nabla est aussi un vrai vecteur.
Maintenant si on considère un produit vectoriel de deux vrais vecteurs, on remarque que, toujours avec le même dessin, les choses vont à l'envers:
- La composante normale au plan P est conservée
- La composante parallèle est transformée en son opposée
De la sorte, on a ce qu'on appelle un pseudo vecteur. Le moment cinétique (produit vectoriel des deux vrais vecteurs position et vitesse) est donc un pseudo-vecteur.

Maintenant, on peut appliquer ça à l'électromagnétisme en considérant un plan de symétrie des causes du champ e.m :
- A étant une somme de vrais vecteurs 'j', A est aussi un vrai vecteur. De même, nabla étant un vrai vecteur, E = -dA/dt - grad V est un vrai vecteur, donc appartient au plan de symétrie, ...
- B étant le produit vectoriel de deux vrais vecteurs, c'est un pseudo vecteur, comme attendu, et il en découle par exemple qu'il est perpendiculaire aux plans de symétrie.

La même étude est faisable avec des plans d'anti-symétrie. Pas besoin de relat ou de définition d'une base a priori pour savoir si un vecteur est 'vrai' ou non...

ØļivierŏđÐ

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par ØļivierŏđÐ » 23 janv. 2012 12:07

ET a écrit : Et donc qu'est-ce qu'un vrai vecteur et un pseudo-vecteur, puisque manifestement j'ai pas compris ? Quelle est l'origine de cette dénomination (pour moi comme ils ont tous trois composantes ce sont tous des vecteurs, et puis ça s'arrête là ) ?
Bonjour,

Les vecteurs ne sont que des outils mathématiques pour représenter le champ électromagnétique. La signification de cette dénomination est que peu importe l'orientation de l'espace les caractéristiques spatiales de ton vecteur représentatif du champ E seront inchangées, tandis que l'orientation de l'espace influera sur la représentation de ton champ B. Il ne faut pas y voir plus que ça.
il faut aussi voir que le sens de E à une signification physique. Le sens de déplacement des particules chargées positivement. B non

phylam

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par phylam » 25 janv. 2012 20:58

Ce que l'on appelle pseudo-vecteur... n'est pas un vecteur. Pour simplifier, on les considère comme des vecteurs, mais dont le sens dépend d'une convention (arbitraire forcément) d'orientation de l'espace.

Exemple: "vecteur rotation" d'un disque tournant. Il est dans le sens d'avancée d'un tire bouchon qui tourne dans le même sens... car on l'a décidé ! Les anglais, qui font rien qu'à rouler à gauche, pourraient tout aussi bien avoir des vecteurs rotations dans le sens opposé.

Il en est de même pour le résultats du produit vectoriel. $ \vec{C}=\vec{A}\wedge\vec{B} $ est tel que la base (A,B,C) est directe... mais l'orientation (base directe) est purement conventionnelle (imaginez des "bases directes anglaises“, indirectes quoi !).

Mathématiquement, ce qu'on appelle pseudo-vecteur est en fait un tenseur antisymétrique d'ordre 2, qui se représente sous la forme d'une matrice 3x3

$ \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} $

comme trois scalaires suffisent à le définir, on se ramène à une écriture vectorielle (a,b,c), mais ce n'est pas un vecteur.

Vecteur polaire, ou vrai vecteur: vecteur position et ses dérivées (vitesse, accélération), donc quantité de mouvement, force, donc champ électrique (F=qE), vecteur densité de courant électrique.

Le produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial (ou pseudo vecteur), donc (cf le cours !): moment cinétique, moment d'une force.

Dans une relation de la forme $ \vec{C}=\vec{A}\wedge\vec{B} $ si deux vecteurs sont polaires, le troisième est axial. Donc B est axial (penser à la force de Lorentz). Cela veut dire que le sens de B dépend d'une convention arbitraire de l'orientation de l'espace ! (si ça se trouve, le champ magnétique anglais est dans l'autre sens). Mais ce n'est pas grave, car ses effets physiques sont traduits par des lois faisant intervenir le produit vectoriel, et le résultat (par exemple force de Lorentz) est indépendant de tout choix d'orientation de l'espace.

Enfin, l'opérateur rotationnel transforme un vecteur axial en vecteur polaire, et réciproquement (cf. les équations de Maxwell).

D'ailleurs, pour citer ce bon vieux Maxwell, dans son célébrissime traité d’électromagnétisme: "The direction and magnitude of a quantity may depend upon some action of effect which takes place entirely along a certain line, or it may depend upon something of the nature of rotation about that line as an axis". En gros: il y a des vrais vecteurs qui sont de la même nature que le vecteur position, et d'autres qui sont de la même nature que le "vecteur rotation".

Messages : 0

Inscription : 15 nov. 2018 10:50

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par Panzer_12 » 15 nov. 2018 10:54

Bonjour , peut t'on résumer l'éssentiel du problème on disons que la fonction vectoriel donner par le produit n'est pas une bijection de V^2 sur V ?

Messages : 9679

Inscription : 30 juil. 2008 16:59

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Pseudos et vrais vecteurs

Message par fakbill » 15 nov. 2018 13:43

6 ans après...
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.

Répondre