Energie mécanique trajectoire hyperbolique

louis250

Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par louis250 » 13 août 2016 15:30

Bonjour,
l'énergie mécanique sur une trajectoire hyperbolique est Em=+k/2a
avec k=Gm/r^2 et a la distance entre O et S' sur ce schéma https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole ... ctrice.svg

Quelqu'un a-t-il la démonstration de ce résultat ? (à priori pas aussi simple que pour une ellipse)

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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par L'hommeMasque » 13 août 2016 17:11

Tu sais qu'a la perihelie et à l'aphelie le vecteur vitesse est orthoradiale en faisant un tmc à ces deux moments,
L=mr(aphelie)v(aphelie)=mr(perihelie)v(perihelie)
En plus l'energie mecanique est conserve à ces moments :
Em=1/2 m(v(a))^2 - K/r(a) = 1/2 m(v(p))^2 - K/r(p)
Tu multiplies par r(a)^2 pour le cote gauche et r(p) pour le droit et en remarquant que r(p)v(p) = r(a)v(a) tu trouves le resultat.

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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par SL2(R) » 13 août 2016 20:12

Soit le "problème à deux corps" de Kepler dans le cas simple où : $ m \ll M $ ; on suppose que la masse M est fixe à l'origine des coordonnées.

On commence par montrer que la trajectoire du mobile de masse de m est une conique d'équation polaire :

$ \displaystyle r = \frac{p}{1 \, + \, e \, \cos \theta} \quad(*) $

où le paramètre p est relié à la constante des aires C par :

$ C^2 \ = \ p \, G M $

L'expression générale de l'énergie mécanique s'établit ensuite en utilisant la formule de Binet de la vitesse dans l'énergie cinétique, puis en introduisant l'équation polaire (*) de la conique. On obtient :

$ \boxed{ \ \displaystyle E \ = \ \frac{GMm}{2} \ \times \ \frac{\left( \, e^2 \, - \, 1 \, \right)}{p} \ } $

Dans le cas particulier d'une hyperbole, on utilise enfin la relation mathématique :

$ p = a \, \left( \, e^2 \, - \, 1 \, \right) $
"You can't really understand anything unless you can calculate it." (Freeman J. Dyson)

www.laphyth.org

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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par louis250 » 15 août 2016 15:33

Merci SL2(R), ça marche nickel ! Il reste la dernière relation mathématique pour p, peut-on la démontrer ? (pour une hyperbole, sachant que pour une ellipse ça marche en faisant rapogée + rpérigée = 2a avec la formule de r selon l'équation polaire)

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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par Kieffer Jean » 15 août 2016 16:03

je te donne un indice : que vaut le grand axe 2a de l'ellipse ?
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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par louis250 » 15 août 2016 16:06

Justement pour l'ellipse ça marche c'est pour l'hyperbole que je cherche.

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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par Kieffer Jean » 15 août 2016 21:10

si tu definis a comme la distance entre les points $ \theta=0 $ et $ \theta=\pi $, ca marche

sinon c'est quoi a pour une hyperbole ?
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Re: Energie mécanique trajectoire hyperbolique

Message par louis250 » 15 août 2016 22:43

En faisant comme vous dites je trouve p=a(1-e^2), c'est à dire le paramètre d'une ellipse.
Pour une hyperbole, si je ne me trompe pas, a est la distance entre O et S (ou S') sur le schéma suivant: (soit la distance entre le centre et un des points où le vitesse est orthoradiale, comme pour une ellipse)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole ... ctrice.svg

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