coefficients de compressibilité

Paramécie

coefficients de compressibilité

Message par Paramécie » 17 sept. 2006 23:33

Bonjour, je bloque sur cet exercice pour montrer les relations (1) et (2). C'est certainement plus mathématique que physique mais je ne vois aps du tout comment m'y prendre:
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Merci d'avance pour votre aide

Re: coefficients de compressibilité

Message par » 18 sept. 2006 14:02

Paramécie a écrit :Bonjour, je bloque sur cet exercice pour montrer les relations (1) et (2). C'est certainement plus mathématique que physique mais je ne vois aps du tout comment m'y prendre
Tout à fait! Il s'agit de manipulations sur les dérivées partielles.
Voici une idée, je te laisse faire les calculs (ça marche):
On a les différentielles totales suivantes:
$ dP=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}dT+\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}dV $
$ dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}dT+\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}dP $
$ dT=\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}dP+\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}dV $
Mais les deuxièmes et troisièmes donnent également des expressions de dP quand on l'isole, à savoir respectivement:
$ dP=\frac{1}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}}dV-\frac{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}}dT $
et
$ dP=\frac{1}{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}}dT-\frac{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}}{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}}dV $

On a donc trois expressions de dP en fonction de dT et dV.
En identifiant les coefficients de dV, on obtient:

$ \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}=\frac{1}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}}=-\frac{\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{P}}{\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{V}} $

En identifiant ceux de dT, on obtient deux nouvelles égalités et en les combinant on trouve le 1). Tu noteras qu'il n'y a absolument rien de physique là-dedans. De plus, c'est à ma connaissance l'unique méthode systématique qui premet de résoudre ce genre de problème.

Pour le 2): la définition de $ \alpha $, $ \beta $ et $ \chi_{T} $ fait intervenir certaines des dérivées partielles qui apparaissent ci-dessus, essaie de les combiner pour faire apparaître la relation 1).

fx Coq

Message par fx Coq » 18 sept. 2006 18:22

Tu noteras qu'il n'y a absolument rien de physique là-dedans
Certes pour la démonstration mais il faut aussi comprendre que si je dis dU=TdS - pdV, je dois comprendre que U, T, et p sont consdiérées comme des fonctions des variables S et V donc que ce n'est pas très commode parce que j'ai pas d'appareil à mesurer S, alors que si j'écris dG=-SdT+VdP, j'ai cette fois les fonctions G, S et V des variables T et p que je peux contrôler.
Les relations entre dérivées partielles de l'exercice ne sont pas de simples permutations circulaires mathématiques mais des formules de changement de "point de vue" ou "représentation" ou "choix des paramètres que je peux contrôler". Ainsi,
$ \frac{\partial P(T,V)}{\partial T}=1/\frac{\partial T(p,V)}{\partial p} $
n'est pas pour moi un simple inverse comme les étudiants le croient souvent.
Même si tout ça est contenu dans l'écriture mathématique, j'ai du mal à voir comment on pourrait le comprendre bien en partant d'une fonction implicite f(x,y,z)=0 où x,y et z n'ont pas de signification.

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