Équation d'onde - caténaire de TGV

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Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » ven. mai 26, 2017 3:10 pm

Bonjour,

Dans le cadre de mon TIPE Physique, je suis amené à résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante :

$$ \mu \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 y(x,t)}{\partial x^4} - T_0 \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} = 0 $$

avec $ \mu $ la masse volumique, $ EI $ le produit module d'Young×moment quadratique et $ T_0 $ la tension appliquée à la corde à ses bornes.

Cette équation doit ici régir le mouvement d'une caténaire de TGV sur une portée entre deux pylônes séparés d'une distance L.
Je veux étudier l'allure de ma caténaire pour un pantographe passant à une vitesse $ V $ sous la caténaire en la soulevant d'une hauteur $ h $ (très petite devant L).

Pour cela, j'avais essayé une résolution numérique par schéma aux différences finies en appliquant à chaque instant $ t $ discrétisé un profil de chaînette de hauteur $ h $ démarrant de l'emplacement $ Vt $. Mais cette méthode ne permet pas de faire apparaître comme résultat des vibrations harmoniques d'une onde qui se déplace dans la caténaire (puisqu'une telle perturbation n'est pas sinusoïdale).

Je ne veux pas non plus faire de conditions initiales fixes du type y=0 pour x=0 et x=L puisque cela ne permet pas de modéliser l'avancée du pantographe, ce qui est un paramètre majeur de l'expérience.

Avez-vous des idées pour prendre un autre angle d'attaque sur la résolution ? Merci d'avance :)
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par Isacu » ven. mai 26, 2017 3:30 pm

L'avancer de ton pantographe ça peut être représenter par une impulsion ? (la contrainte monte puis diminue une fois que le TGV est passé)
Parce que dans ce cas, tu peux modéliser le signal contenu dans les conditions aux limites par une gaussiène dont tu pourrais faire une transformée de fourier (facilement trouvable dans les formulaires) et donc la décomposer en somme de sinus et cosinus qui sont à priori des solutions bien connues de ton équation puis reconstruire ton signal ensuite en faisant une transformé de fourier inverse.

En tout cas c'est l'idée qui me vient quand j'observe ce problème, après faut voir si c'est applicable et comment en pratique. ;)
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » ven. mai 26, 2017 3:46 pm

Isacu a écrit :
ven. mai 26, 2017 3:30 pm
L'avancer de ton pantographe ça peut être représenter par une impulsion ? (la contrainte monte puis diminue une fois que le TGV est passé)
Parce que dans ce cas, tu peux modéliser le signal contenu dans les conditions aux limites par une gaussiène dont tu pourrais faire une transformée de fourier (facilement trouvable dans les formulaires) et donc la décomposer en somme de sinus et cosinus qui sont à priori des solutions bien connues de ton équation puis reconstruire ton signal ensuite en faisant une transformé de fourier inverse.
C'est ce que je pense avoir fait : une impulsion (sous forme de chaînette avec les branches tournées vers le bas pour avoir un profil de soulèvement à peu près cohérent avec la réalité).
Le problème, c'est comment tu fais la résolution sachant que la Gaussienne avance à chaque instant ?

EDIT : À moins que tu ne veuilles dire que ça passe tellement vite qu'on peut modéliser comme une condition initiale de soulèvement instantané et voir les conséquences après… ? Bonne idée… :) Faut que j'essaye, merci !

EDIT 2 : Dans ce cas, comment modéliser la vitesse d'avance du TGV en supposant que c'est une impulsion ? Parce que j'aimerai justement voir que le câble ne décolle pas trop quand v suffisamment en dessous de la vitesse de propagation des ondes dans le câble, et que ça décolle au-delà dans tous les sens.
D'ailleurs, injecter une gaussienne comme condition initiale donnerait une propagation d'onde ou ça fera juste un truc qui se ratatine en une droite y=0 au bout d'une seconde ?
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par Isacu » ven. mai 26, 2017 4:01 pm

remontees a écrit :
ven. mai 26, 2017 3:46 pm
Le problème, c'est comment tu fais la résolution sachant que la Gaussienne avance à chaque instant ?
Alors je peux me tromper car je n'ai pas encore tout compris à c'est quoi exactement comme type de condition au limite. Mais par exemple un signal en gaussiène qui se déplace à une vitesse V c'est $ f(x,t) = \exp(-(x_0 - Vt)²) $ après ce signal tu peux soir en faire la transformée de fourier (TF) spatiale dont les coefficients dépende de t ou la TF temporelle (pour tout x fixé) ou les coefficients dépendantes de t.
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » ven. mai 26, 2017 4:52 pm

En gros je tiens une caténaire entre deux points (0,0) et (L,0) et un pantographe qui soulève un câble à une hauteur d se déplace à une vitesse constante V.
Et j'essaye de trouver une expression de $ y(x,t) $ pour x compris entre 0 et L.

Ma perturbation serait en gros en$ y(Vt, t) = h $ (avec un peu de "descente" autour du point soulevé puisque c'est un câble). Le reste des valeurs de y, on ne les connaît pas. Je sais pas si c'est plus clair comme ça… ?

Ou sinon, quelqu'un saurait quels calculs permettent d'aboutir aux résultats des graphiques des pages 36 à 40 du pdf (numérotation des pages du PDF, pas la pagination de l'auteur !) suivant : http://bibli.ec-lyon.fr/exl-doc/jpmassat.pdf ? Ça mène à peu près à la même chose que ce que je veux.
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par bullquies » ven. mai 26, 2017 7:00 pm

Essaye une solution séparable:

$ y(x,t) = f(x)g(t) $

Essaye d'isoler d'un côté de l'équation ce qui dépend du temps, de l'autre ce qui dépend de l'espace. Tu obtiendras une égalité de fonctions qui dépendent de deux variables différentes, donc ca peut t'aider à exprimer $ f(x) $ et $ g(t) $ assez simplement.
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » ven. mai 26, 2017 10:24 pm

bullquies a écrit :
ven. mai 26, 2017 7:00 pm
Essaye une solution séparable:

$ y(x,t) = f(x)g(t) $

Essaye d'isoler d'un côté de l'équation ce qui dépend du temps, de l'autre ce qui dépend de l'espace. Tu obtiendras une égalité de fonctions qui dépendent de deux variables différentes, donc ca peut t'aider à exprimer $ f(x) $ et $ g(t) $ assez simplement.
bullquies a écrit :
ven. mai 26, 2017 7:00 pm
Essaye une solution séparable:

$ y(x,t) = f(x)g(t) $

Essaye d'isoler d'un côté de l'équation ce qui dépend du temps, de l'autre ce qui dépend de l'espace. Tu obtiendras une égalité de fonctions qui dépendent de deux variables différentes, donc ca peut t'aider à exprimer $ f(x) $ et $ g(t) $ assez simplement.
Oui, c'est la méthode de résolution générale, on peut même poser pour chacune des exponentielles complexes et boum ça donne les solutions sinusoïdales.

En fait si vous voulez je posterais demain la démonstration du pourquoi j'arrive à cette équation d'onde. Il faudrait peut être que j'ajoute simplement lors de la détermination de l'équation une force constante $ F_0 $ verticale qui avance à $ v_0 t $.
Mais dores-et-déjà, comme pour la démonstration de l'équation de D'Alembert, comme on travaille avec des grandeurs linéiques, je vois mal comment faire pour transformer ma force constante en force linéique.
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par Ewind » ven. mai 26, 2017 10:55 pm

Je me souviens plus exactement si ça colle avec ton problème, mais tu peux regarder le problème de Mines de 2016 sur le Millenium Bridge .

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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » ven. mai 26, 2017 11:38 pm

Merci je n'avais pas pensé à re-regarder ce sujet il est intéressant à plus d'un titre.

J'ai mieux cerné ma question maintenant. Pour démontrer la fameuse grosse équation du premier message (sans compter la démo très hors programme du pourquoi du comment du moment en EI × dérivée double), comme dans le cas de l'équation de D'Alembert, on aura du
$$ \mu \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} dx = T(x+dx, t) - T(x,t) $$

Si je rajoute une force constante qui ne s'exerce qu'en vt à l'équation précédente, la dérivée par rapport à x de ma force va faire 0 car elle n'est fonction en chaque point que de t ? Ou alors ça fait une dérivée de dirac mais je suis perdu...
Je ne vois vraiment pas comment ajouter ma force constante qui se déplace à vitesse constante de cette manière...
La question est plus claire maintenant ? Avez-vous des idées ?
Et merci à tous ceux qui prennent le temps de me répondre, c'est vraiment très gentil et de l'aide précieuse :)
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par Isacu » sam. mai 27, 2017 12:34 pm

J'y ai réfléchie un peu à nouveau et pour moi faudrait rajouter une force de rappel qui va vouloir amener le câble à la hauteur f(x,t) (qui est là hauteur consigne que veut imposer le pantographe) donc pour que ça reste linéaire j'envisagerais une force de rappel en $ -K(y(x,t) - f(x,t)) $ ce qui donnerait l'équation:
$ \mu \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 y(x,t)}{\partial x^4} - T_0 \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + K(y(x,t)-f(x,t))
= 0 $
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Re: Équation d'onde - caténaire de TGV

Message par remontees » sam. mai 27, 2017 2:10 pm

J'y ai pensé aussi, et après on pose que $ f(x,t) = \delta(x_0-x) \delta (t_0 - t) $ et on résout en passant par la transformée de Fourier (et bonjour les intégrales de Dirac, entre autres :-) ).

Sinon, à l'aide du document suivant que j'avais déjà vu (mais oublié entre temps bien sûr), je viens de me rendre compte qu'on peut effectuer un "simple" PFD sans passer en linéique et tout, on résout comme ceci :
On effectue le changement de variable $ X = x-Vt $.
On résout pour X<0 (on se place avant le pantographe) -> cosinus
On résout pour X>0 (on se place après le pantographe) -> amplitude nulle (ou égale aux conditions initiales) en disant que la vitesse de phase est inférieure à la vitesse du train, donc que l'onde ne passe pas devant le pantographe -> même si je ne vois pas trop comme ça comment le montrer mathématiquement, si ce n'est en considérant le déplacement du front d'onde créé à chaque instant.

=> On en déduit une rupture franche lorsqu'on est au niveau du front d'onde, c'est un peu moche car en fait c'est davantage une forte amplitude, mais en première approche ça me paraît valable.
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