Montrer que la trajectoire est elliptique

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Mariem202
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Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par Mariem202 » dim. nov. 12, 2017 2:00 pm

Bonjour

j'ai trouvé les équations horaires du mouvement d'un point matériel dans le plan xOy comme suit:
\(
x=X_0 \cos(\omega t + \phi) \) (1)
\( y=Y_0 \cos(\omega t + \phi') \) (2)

je veux montrer que ce point a une trajectoire elliptique, je pose donc \( \phi' = \phi + \phi'' \)
l'équation (2) devient:
\( y=Y_0 \cos(\omega t + \phi + \phi'') \)
\( y= Y_0( \cos(\omega t + \phi)\cos(\phi'')- \sin(\omega t + \phi)\sin(\phi'')) \)
\( \frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sin(\omega t + \phi)\sin(\phi'') \) avec \( \frac{x}{X_0} = \cos(\omega t + \phi) \) selon (1)
et on a \( \sin(\omega t + \phi) = \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2} \)
alors :
\( \frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'') \)

comme ça j'ai eliminé le temps entre x et y, mais je n'arrive toujours pas à écrire cette équation sous la forme \( (\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2 = 1 \).

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?

Merci.
Modifié en dernier par Mariem202 le dim. nov. 12, 2017 6:15 pm, modifié 1 fois.

Ewind
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Re: Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par Ewind » dim. nov. 12, 2017 2:13 pm

Prend le carré de ton expression? ( pas vérifié mais ca devrait marcher )

Mariem202
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Re: Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par Mariem202 » dim. nov. 12, 2017 2:36 pm

si je prend le carré de \( \frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'') \)
je trouve \( (\frac{y}{Y_0})^2=(\frac{x}{X_0})^2\cos(2\phi'') + \sin^2(\phi'')- \frac{x}{X_0}\sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(2\phi'') \) et je n'arrive pas à enlever la racine de l'expression

et si je prend le carré de\( \frac{y}{Y_0} - \frac{x}{X_0}\cos(\phi'')= -\sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'') \)
je trouve \( (\frac{y}{Y_0})^2 + (\frac{x}{X_0})^2\cos^2(\phi'') - 2\cos(\phi'')\frac{xy}{X_0Y_0}= (1 - (\frac{x}{X_0})^2)\sin^2(\phi'') \) et j'obtient un terme où il y a \( xy \)

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bullquies
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Re: Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par bullquies » dim. nov. 12, 2017 4:06 pm

Bonjour,

Peut-être que je suis un peu rouillé, mais qu'est-ce qui te permet de dire que c'est ces équations du mouvement sont celles d'un point qui suit une trajectoire elliptique ? J'ai du mal à voir en quoi c'est vrai dans le cas général que tu présentes :)

Mariem202
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Re: Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par Mariem202 » dim. nov. 12, 2017 6:09 pm

bullquies a écrit :
dim. nov. 12, 2017 4:06 pm
qu'est-ce qui te permet de dire que c'est ces équations du mouvement sont celles d'un point qui suit une trajectoire elliptique ?
je l'ai trouvé dans le corrigé de l'exercice

SL2(R)
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Re: Montrer que la trajectoire est elliptique

Message par SL2(R) » dim. nov. 12, 2017 6:56 pm

Soient :

\( x(t) = X \, \cos ( \omega t) \)
\( y(t) = Y \, \cos ( \omega t - \varphi ) \)

En écrivant :\( \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1 \), on obtient :

\( \displaystyle \frac{x^2}{X^2} \ + \ \frac{y^2}{Y^2} \ - \ \frac{2 x y}{X Y} \ \cos \varphi \ = \ \sin^2 \varphi \)

C'est l'équation d'une ellipse dont le demi-grand axe fait un angle $ \alpha $ avec l'axe des x, tel que (\( X \ne Y \)) :

\( \displaystyle \tan ( 2 \alpha ) \ = \ \frac{2 X Y}{X^2 - Y^2} \ \cos \varphi \)

Pour retrouver l'équation canonique de l'ellipse, il faut effectuer une rotation du système d'axe.


Cf. e.g. : Max Born et Emil Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, § 1.4.2, pp. 24-27 de la 6e édition (1980).
"You can't really understand anything unless you can calculate it." (Freeman J. Dyson)

www.laphyth.org

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