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Différence d différentiel, delta d ronde

Posté : jeu. janv. 11, 2018 9:05 pm
par Wil
Bonsoir,
Pourriez-vous m'expliquer clairement les différences entre le d rond, delta, le d différentiel, et leurs cas d'utilisation, à quel moment utilise-t-on l'un ou l'autre pour se simplifier une notion ? Merci.

Re: Différence d différentiel, delta d ronde

Posté : jeu. janv. 11, 2018 9:14 pm
par Hibiscus
Tu veux une explication très simple, ou tout le truc mathématique qu'il y a derrière ?
De manière physique,
-> On écrit \( \partial \) pour désigner la dérivée partielle \( \frac{\partial}{\partial x_1} f(x_1,x_2,...) \) par rapport à une variable d'une fonction de plusieurs variables.
-> \( d \), pour une dérivée d'une fonction d'une seule variable. La forme différentielle \( dx \) correspond alors a une "distance" infinitésimale sur l'axe x.
Ainsi, noter \( dS= y.dx+x.dy+dx.dy \) correspond à une surface infinitésimale décrite comme la différence entre le carré (x,y) et le carré de longueur x+dx et de largeur y+dy.
-> Delta \( \Delta \) correspond à une "distance" non infinitésimale. \( \frac{\Delta x}{\Delta t} \) correspond à la vitesse moyenne le long d'un parcours sur l'axe x, alors que \( \frac{dx}{dt} \) correspondrait à la vitesse instantanée.

Si tu veux la version formes différentielles / champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle assez régulière, on peut aussi, mais bon....

Re: Différence d différentiel, delta d ronde

Posté : jeu. janv. 11, 2018 9:37 pm
par Wil
Merci beaucoup !
Quant à la div,rot et grad que représentent ils ?Je veux dire on s'en sert beaucoup en électromagnétisme mais je n'ai pas l'impression de vraiment voir à quoi elles correspondent (en dehors du fait que ce sont des dérivées partielles ...)

Re: Différence d différentiel, delta d ronde

Posté : jeu. janv. 11, 2018 10:10 pm
par Hibiscus
Ce sont des opérateurs. Le Laplacien, par exemple, n'a pas l'air de te déranger, pourtant, c'est aussi un opérateur.

En terme d'interprétations :
la divergence peut s'interpréter (yen a d'autres), comme une variation de volume sous l'action du flot d'un champ.
le gradient généralise tout simplement la notion de dérivée. (un gradient de température, ça veut juste dire qu'il fait chaud quelquepart et froid autre part).
le rotationnel est plus délicat à se représenter directement que les deux précédents, mais décrit, comme son nom l'indique, la tendance d'une ligne de champ à tourner autour d'un point => le champ vitesse du vent dans une tornade "tourne" autour de l'oeil.

Re: Différence d différentiel, delta d ronde

Posté : ven. janv. 12, 2018 1:20 am
par siro
Wil a écrit :
jeu. janv. 11, 2018 9:37 pm
Merci beaucoup !
Quant à la div,rot et grad que représentent ils ?Je veux dire on s'en sert beaucoup en électromagnétisme mais je n'ai pas l'impression de vraiment voir à quoi elles correspondent (en dehors du fait que ce sont des dérivées partielles ...)
ouvre un cours de méca flu pour les opérateurs, leur sens physique est assez clair

le gradient c'est la "pente" d'un champ de scalaire en un point
le rotationnel c'est la façon dont le champ (vectoriel) "tourne" autour d'un point
la divergence c'est la façon dont le champ (vectoriel) se contracte/dilate en un point

(analogies à la truelle)