Equation de la chaleur en cylindrique
Equation de la chaleur en cylindrique
Bonsoir,
Dans un exo concernant la résistance d'un conducteur cylindrique, j'essaye de déterminer l'équation de la chaleur, je bloque sur un passage "mathématique" : ( j'ai considéré une couronne cylindrique d'épaisseur dr (entre r et r+dr) et de hauteur h
Après le bilan thermique pendant dt : $ \varrho (total)=\varrho (r)-\varrho (r+dr)=2\pi hdt\lambda [ (r+dr)\frac{\partial T}{\partial r}(applique\,a\,(r+dr)\,-r\frac{\partial T}{\partial r}(applique\,a\,(r)] $
Mais après, je ne sais pas comment obtenir le laplacien ... Some help please !!
Bonne soirée !!
Dans un exo concernant la résistance d'un conducteur cylindrique, j'essaye de déterminer l'équation de la chaleur, je bloque sur un passage "mathématique" : ( j'ai considéré une couronne cylindrique d'épaisseur dr (entre r et r+dr) et de hauteur h
Après le bilan thermique pendant dt : $ \varrho (total)=\varrho (r)-\varrho (r+dr)=2\pi hdt\lambda [ (r+dr)\frac{\partial T}{\partial r}(applique\,a\,(r+dr)\,-r\frac{\partial T}{\partial r}(applique\,a\,(r)] $
Mais après, je ne sais pas comment obtenir le laplacien ... Some help please !!
Bonne soirée !!
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
bonsoir
Ca fait longtemps donc excuse si c'est une question bête, mais : pourquoi redémontrer l'équation de la chaleur plutôt que de l'appliquer directement ? (Evidemment ici il ne faut pas oublier les termes sources)
C'est bien plus compliqué de sortir le laplacien en cylindriques qu'en cartésiennes
Ca fait longtemps donc excuse si c'est une question bête, mais : pourquoi redémontrer l'équation de la chaleur plutôt que de l'appliquer directement ? (Evidemment ici il ne faut pas oublier les termes sources)
C'est bien plus compliqué de sortir le laplacien en cylindriques qu'en cartésiennes
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Je n'ai pas compris : que représente la grandeur $ \rho $ ici ?
EDIT : Ok, c'est la chaleur reçue, j'imagine (mais je n'avais jamais rencontré cette notation).
Sinon, le laplacien, en symétrie cylindrique, s'écrit $ \Delta = \frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right) $. Tu peux poser $ f(r) = r T(r) $ ici, et il faut alors utiliser un développement limité de f dans la formule où tu es arrivé.
EDIT : Ok, c'est la chaleur reçue, j'imagine (mais je n'avais jamais rencontré cette notation).
Sinon, le laplacien, en symétrie cylindrique, s'écrit $ \Delta = \frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right) $. Tu peux poser $ f(r) = r T(r) $ ici, et il faut alors utiliser un développement limité de f dans la formule où tu es arrivé.
Certains exos demandent de refaire la démo (ou d'établir une équation du même genre) en symétrie cylindrique.bullquies a écrit : ↑07 févr. 2018 20:06bonsoir
Ca fait longtemps donc excuse si c'est une question bête, mais : pourquoi redémontrer l'équation de la chaleur plutôt que de l'appliquer directement ? (Evidemment ici il ne faut pas oublier les termes sources)
C'est bien plus compliqué de sortir le laplacien en cylindriques qu'en cartésiennes
PCSI/PC* LLG 2014-2016
ENS Ulm
Colleur en PCSI/PC*.
ENS Ulm
Colleur en PCSI/PC*.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Oui c'est le transfert thermique total reçu, désolé pour la notation un peu floue :3Yoz a écrit : ↑07 févr. 2018 20:13Je n'ai pas compris : que représente la grandeur $ \rho $ ici ?
EDIT : Ok, c'est la chaleur reçue, j'imagine (mais je n'avais jamais rencontré cette notation).
Sinon, le laplacien, en symétrie cylindrique, s'écrit $ \Delta = \frac1r\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right) $. Tu peux poser $ f(r) = r T(r) $ ici, et il faut alors utiliser un développement limité de f dans la formule où tu es arrivé.
Ouais je sais qu'il faut utiliser un développement limité mais je vois pas trop où c'est ... si tu peux expliciter le calcul tu me sauveras la vie !!!
Dernière modification par Osvatski le 07 févr. 2018 21:02, modifié 1 fois.
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Oui comme Yoz l'a dit, sur des exo on est censé redémontrer l'équation ....bullquies a écrit : ↑07 févr. 2018 20:06bonsoir
Ca fait longtemps donc excuse si c'est une question bête, mais : pourquoi redémontrer l'équation de la chaleur plutôt que de l'appliquer directement ? (Evidemment ici il ne faut pas oublier les termes sources)
C'est bien plus compliqué de sortir le laplacien en cylindriques qu'en cartésiennes
L'examinateur sort son portable de sa poche et le place à la verticale sur la table. Le portable tombe. Expliquer.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Ne développe pas le vecteur densité de flux de chaleur (que je vais noter j par habitude) aussi vite que tu le fais..
Tu sais par définition de la dérivée que $ (r+dr)j(r+dr,t)=rj(r)+dr \partial_r(rj(r,t)) $+ un second ordre qu'on gicle..
Donc, tu arrives rapidement à $ \text{coefficient}\cdot \partial_t T(r,t) = - \frac{1}{r} \partial_r (rj) + \text{Un terme source inexistant ici} $
Une fois ici, tu invoques la Loi de Fourier, et change ton j avec \lambda et le gradient de température.
Tu reconnaîtras alors l'expression d'un Laplacien pour un milieu axi-symétrique, que t'as donné Yoz.
Note : Par souci d'alléger, j'ai utilisé la notation suivante $ \partial_x f(x) = {\partial f(x)}/{\partial x} $
Tu sais par définition de la dérivée que $ (r+dr)j(r+dr,t)=rj(r)+dr \partial_r(rj(r,t)) $+ un second ordre qu'on gicle..
Donc, tu arrives rapidement à $ \text{coefficient}\cdot \partial_t T(r,t) = - \frac{1}{r} \partial_r (rj) + \text{Un terme source inexistant ici} $
Une fois ici, tu invoques la Loi de Fourier, et change ton j avec \lambda et le gradient de température.
Tu reconnaîtras alors l'expression d'un Laplacien pour un milieu axi-symétrique, que t'as donné Yoz.
Note : Par souci d'alléger, j'ai utilisé la notation suivante $ \partial_x f(x) = {\partial f(x)}/{\partial x} $
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Ahh d'accord !!! Mercii beaucoup, je vois un peu maintenant le truc . Mais euuh la formule de la dérivé que t'as écrit, tu l'obtient comment ? Hmm je vois que c'est comme Taylor à l'ordre 2 sauf que je vois pas comment y arriver ...Hibiscus a écrit : ↑07 févr. 2018 21:22Ne développe pas le vecteur densité de flux de chaleur (que je vais noter j par habitude) aussi vite que tu le fais..
Tu sais par définition de la dérivée que $ (r+dr)j(r+dr,t)=rj(r)+dr \partial_r(rj(r,t)) $+ un second ordre qu'on gicle..
Donc, tu arrives rapidement à $ \text{coefficient}\cdot \partial_t T(r,t) = - \frac{1}{r} \partial_r (rj) + \text{Un terme source inexistant ici} $
Une fois ici, tu invoques la Loi de Fourier, et change ton j avec \lambda et le gradient de température.
Tu reconnaîtras alors l'expression d'un Laplacien pour un milieu axi-symétrique, que t'as donné Yoz.
Note : Par souci d'alléger, j'ai utilisé la notation suivante $ \partial_x f(x) = {\partial f(x)}/{\partial x} $
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Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Comment développerais-tu, à l'ordre 1, f(x+dx) ?
Multiplie cette expression par (x+dx), et conserve les terme d'ordre 1.
Multiplie cette expression par (x+dx), et conserve les terme d'ordre 1.
Masséna (PC*) -- X15 -- Spatial.
Re: Equation de la chaleur en cylindrique
Ouaais c'est bon merciiiiii ^^ !
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