D rond et gradient

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D rond et gradient

Message par Articheau » 01 mars 2018 19:23

Salut, j'ai une question concernant d rond notamment (ou dérivé partiel/6 à l'enver) :

Apparemment ça se compare à d, mais pour une fonction de plusieurs variable, on peut par exemple écrire (j'écrirais des 6 à la place du d rond) :
6f/6x. Jusque là pas de problème pour l'utiliser, mais ça me semble bizarre pour son sens. Parce que par exemple, dt, c'est la différence de temps entre 2 instant infiniment proche, pareil pour df (dite moi là ou je me trompe).
Et donc df/dt représente bien une fraction (on divise df par dt, et ça donne la dérivé de f). Mais du coup ce serais pas le cas pour 6f/6t par exemple ? 6f et 6t ne peuvent pas se manipuler indépendamment, ce ne sont pas des nombre ?

Et pourquoi on écris pas juste df/dt, en ignorant le fait qu'il y ai d'autre variable ? Ou bien 6f/dx ou 6f/dt ?

Du coup je comprend pas bien les secret de la notation, et le sens mathématique.

Et pour le gradient, ça représente quoi ? Par exemple quand on écris Ep = - grad F ? C'est quoi le sens/définition mathematique ?

Merci :D
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Re: D rond et gradient

Message par Hibiscus » 01 mars 2018 19:40

Vu le message, je suppose que t'es en L1 de physique. Je vais donc répondre pas trop mathématiquement.
J'ai l'impression que ça t'a été introduit de manière horriblement bouchère, ou physicienne..
On ne peut pas ignorer le fait qu'il y ait d'autres variables, ça n'aurait aucun sens.
La dérivée, tu la donnes en un point. La dérivée partielle, tu la donnes par rapport à un "chemin" précis, qui passe par ce point, et dépend des autres variables.

Tu dois comprendre que ce que tu notes df, c'est
$ {\mathrm {d}}f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,{\mathrm {d}}x_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,{\mathrm {d}}x_{n}. $
Dès qu'il y a plusieurs variables, ce que tu appelles la fraction "df/dx" n'a pas de sens. Déjà, ça n'a jamais été vraiment une fraction, ni des nombres, juste une notation pour désigner la limite d'un quotient, mais passons.

Le gradient, c'est le vecteur dont chaque coordonnée correspond à la dérivée partielle de ta fonction, par rapport à la variable correspondante.
Le gradient, s'il fallait choisir un objet, serait l'équivalent de la dérivée.
Deux gradients faciles à se représenter je pense, en physique, sont celui de la température ou de la vitesse d'un fluide.
Imagine un tuyau avec plein de flèches de tailles différentes. Elles te disent partout comment varie la vitesse de la flotte, dans quelle direction ça a tendance à bouger, etc..
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Re: D rond et gradient

Message par matmeca_mcf1 » 01 mars 2018 19:48

Les notations en dérivées partielles sont source de nombreuses erreurs. Elles sont incohérentes mais elles sont historiques donc on les garde.

Par contre, df/dt n'est pas mathématiquement une fraction (dans la définition habituelle) mais moralement si tu la traites comme une fraction à la physicienne, cela marche. Et ton intuition physicienne de voir df et dt comme de petits nombres fonctionne (cette façon de voir est même formalisable mathématiquement).

Pour les dérivées partielles, tu vas faire de nombreuses erreurs si tu les traites comme des fractions. En particulier, connais-tu la règle de dérivation en chaînes? Si tu simplifie comme pour les fractions, tu vas faire des erreurs.

Pour le gradient, imagine un champ scalaire. Le gradient est le champ de vecteur qui indique en tout point la direction dans lequel le champ scalaire augmente le plus (et l'amplitude de cette augmentation).
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Re: D rond et gradient

Message par Articheau » 01 mars 2018 20:04

Merci pour vos réponse
Vu le message, je suppose que t'es en L1 de physique. Je vais donc répondre pas trop mathématiquement.
J'ai l'impression que ça t'a été introduit de manière horriblement bouchère, ou physicienne..
On fait autant de math que de physique pour l'instant (c'est mixte, genre si je veut aller en L2 math c'est le même parcour, enfin bref).

Et oui, j'aime pas trop en général qu'on introduise des truc mathématique directement en physique, je préfère voir la théorie en math, bien proprement, s'approprier la notion, et ensuite l'appliquer à la physique mais bon. D'ailleurs, on as jamais donné de définition en math pour df etc, mais on l'utilisait en terminal avec dv/dt, sans savoir s'il s'agissait du produit de d*v ou d'une fraction ou quoi, mais "il faut écrire ça" :|

Ce que je veut dire, c'est que df et dt, il sont indépendant, par exemple :
v(t)=dx/dt <=> dx=v*dt, je peut écrire ça.

Et de plus (mathématiquement) : df/dt = lim h->0 ((f(x+h)-f(x))/h), donc c'est bien une fraction non ? (et du coup j'ai du mal à pas voir 6f/6x comme une fraction, ou un rapport, vu que ya une barre)

Par exemple, si j'ai une fonction de 2 variable (x, t), je peut la représenter en 3D. La tangente correspondant à 6f/6x par exemple, ce seras dans un plan parallèle à l'axe des x ? Et le gradient il ressemble à quoi dans cette espace ? C'est la composition des 2 vecteur tangente du coup ?

Du coup pour mon exemple de l'énergie potentiel Ep = - grad F ?
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Re: D rond et gradient

Message par Articheau » 01 mars 2018 20:13

En fait c'est pas qu'on nous introduit ça de façon "horiblement bouchère", c'est plus qu'on nous dit "pour faire ça, c'est ça", sans le vrai sens qu'il y as derrière, la définition mathématique ou plus général, ce qui fait qu'on s'approprie pas vraiment le truc quoi
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Re: D rond et gradient

Message par Hibiscus » 01 mars 2018 20:17

Articheau a écrit :
01 mars 2018 20:04
Du coup pour mon exemple de l'énergie potentiel Ep = - grad F ?
J'ai un peu volontairement esquivé celle là pour te donner d'autres gradients plus faciles à imaginer.
La raison pour laquelle on peut utiliser ce lien entre une énergie et une force conservative vient d'un théorème (de Stokes).
(Puisque quel que soit chemin suivi, le travail d'une force conservative est nul sur toute trajectoire fermée).
C'est un peu plus pénible à visualiser qu'un gradient de vitesse, ou de température, qui est plus intuitif. D'autant que tu n'as probablement pas encore vu proprement la notion de champ.
Tu peux en revanche comprendre assez facilement ce lien force-énergie en 1D par la dérivation spatiale, et dire qu'en dimension supérieure, le gradient généralise la dérivée spatiale.
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Re: D rond et gradient

Message par matmeca_mcf1 » 01 mars 2018 20:43

Mathématiquement, $ f\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^p $ est dite dérivable en $ x $ appartenant à $ \mathbb{R}^n $, s'il existe une application linéaire $ L $ tel que
$$
\|f(x+h)-f(x)-Lx\|=o(\|h\|)
$$
J'espère que tu as vu les petits $ o $.

Lorsque $ L $ existe, on appelle différentielle de $ f $ en $ x $ l'application linéaire $ L $, et on la
note $ df(x) $.

Comme toute application linéaire, elle peut être représentée par une matrice qu'on appelle la jacobienne de $ f $ en $ x $. Les coefficients de la jacobienne sont les dérivées partielles.

Pour les fonctions à valeurs dans $ \mathbb{R} $, la jacobienne est un vecteur ligne. Le gradient en x est la transposée de la jacobienne en x ou abstraitement, l'unique vecteur $ u $ de $ \mathbb{R}^n $ vérifiant
$$
u\cdot h=df(x)(h)
$$
Cette dernière définition est abstraite mais utile pour montrer que le gradient ne dépend pas du choix d'une base orthonormale.
Le gradient de $ f $ en $ x $ lorsqu'il existe est noté $ \nabla f(x) $.
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Re: D rond et gradient

Message par MATHADOR » 04 mars 2018 05:24

Articheau a écrit :
01 mars 2018 20:04
Et oui, j'aime pas trop en général qu'on introduise des truc mathématique directement en physique, je préfère voir la théorie en math, bien proprement, s'approprier la notion, et ensuite l'appliquer à la physique mais bon. D'ailleurs, on as jamais donné de définition en math pour df etc, mais on l'utilisait en terminal avec dv/dt, sans savoir s'il s'agissait du produit de d*v ou d'une fraction ou quoi, mais "il faut écrire ça" :|
Tu as raison, ces notions ne sont quasiment jamais correctement introduites en physique, souvent d'ailleurs parce que les professeurs en question ont oublié ou n'ont tout simplement pas le niveau mathématique requis (même de niveau L1/L2). C'est bien d'essayer de comprendre l'essence de ces notions le plus tôt possible, car c'est la base de la base indispensable dans de nombreux domaines fondamentaux ou (quasiment encore plus) appliqués. Contrairement à ce qu'en pensent certains, ces notions ne sont pas si triviales que ça et même dans les masters de maths les plus sélectifs, c'est très loin d'être maîtrisé par tout le monde.

Pour une introduction rigoureuse, propre et concise au calcul différentiel, je ne connais pas mieux que le RDO (tome 3). Ce cours peut évidemment également servir d'approfondissement à n'importe quel taupin.
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Re: D rond et gradient

Message par Articheau » 08 mars 2018 22:51

Merci pour vos réponse !

Du coup, je me suis aussi toujours demander :
Que signifie le "dx" dans une integral ? Et que veut dire une integral sans ce dx ? Peut-on le sortir de l'integral (même si ce n'est pas utile) ?

(On as pas encore eu le cour sur les intégral de rieman, mais ce seras dans quelque semaine, donc ça répondras peut-être à ma question).

Le prof d'amphi physique nous as donné une sorte "d'intuition" de l'integral, comme la somme de f(x)*delta x, sur un intervalle, avec delta x tend vers 0 (dx ?). Mais il nous as dit aussi qu'il ne fallait pas en parler au mathématicien, car ça les ferais "sauter au plafond" :? .
C'était pour introduire ensuite le travaille infinitésimal.

+ pour le livre, tu parle de ça : https://www.amazon.fr/Cours-mathématiqu ... 2100041770 ?
Merci, je vais voir si il l'ont à la BU :)
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Re: D rond et gradient

Message par matmeca_mcf1 » 08 mars 2018 23:22

Si f>=0 , l'intégrale $ \int_a^bf(x)\mathrm{d}x $ représente l'aire de la surface délimitée en bas par l'axe des absices, en haut par la fonction f, à gauche par l'axe y=a, et à droite par l'axe y=b.

Le prof de physique a juste décrit une somme de Riemann. Quant au dx, on ne peut pas le sortir de l'intégrale. Vois-le juste comme une notation comme quoi on intègre suivant la variable x. Et qui t'indique où l'intégrale se termine.
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