Planete avec habitant en levitation

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Néodyme
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par Néodyme » lun. mai 14, 2018 8:14 am

"Euh" pour quelle affirmation ?
Je pense que ce à quoi fait référence Articheau, c'est ce genre d'image : https://fr.wikipedia.org/wiki/Introduct ... %C3%A9rale (la première). C'est une vue d'une surface 2D plongée dans un espace à 3D, et en fait ça ne veut pas dire grand chose. La réalité c'est que la métrique de l'espace (à 3D) est non homogène, et on ne peut pas facilement le représenter. En particulier on ne peut pas visualiser de plongement dans un espace à 4D.
Je ne connais pas ces théorèmes de plongement, je ne sais pas si ça apporte quelque chose ou pas.

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Hibiscus
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par Hibiscus » lun. mai 14, 2018 8:22 am

Sans lien, c'était en réponse au message de mathmeca_mcf1 ; je n'avais pas vu qu'il l'avait enlevé après.
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par matmeca_mcf1 » lun. mai 14, 2018 8:33 am

Je l'ai enlevé car whitney préserve juste la structure différentielle mais ne préserve pas la pseudo métrique donc cela n'a pas d'intérêt. Je n'ai pas parlé de nash.
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siro
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par siro » lun. mai 14, 2018 10:04 am

Nash garantit l'existence de plongements isométriques, mais leur gueule est un peu bizarre (notamment ils ont vachement la tronche de fractales, cf l'exemple du Tore tel que décrit ici : http://images.math.cnrs.fr/Gnash-un-tore-plat.html#nb6 ). Je ne suis pas sûr qu'il soit pratique de travailler avec de telles sous-variétés.

Après, rien que pour le tour de force, ça pourrait être intéressant d'exhiber un jour un plongement du cosmos en 8D (ou moins), mais je doute que ça soit déjà fait (jamais entendu parler jusqu'ici). M'enfin on quitte la RG pour s'aventurer dans de la méchante géodiff. M'enfin je ne sais pas si penser en 8D sans courbure mais avec des sous-variétés super weird est vraiment plus simple que penser en 4D avec courbure.

En fait, le premier truc qu'on apprend en RG, il me semble, c'est de ne PAS chercher à penser l'espace-temps comme une sous-variété plongée, mais intrinsèquement comme une variété à courbure non nulle. Ce qui demande plus de taf au départ mais simplifie la vie après (et évite d'introduire des dimensions had hoc dont le sens physique serait au mieux artificiel). Donc @Articheau, l'espace-temps n'est pas en 3D avec une déformation selon une 4eme dimension, mais plutôt un espace en 4D (comme celui de la relat restreinte : signature -+++ ou +---, càd que la première dimension est différente des autres) avec une courbure non nulle.

Enfin tout ça c'est assez violent pour un L1, pour ce que j'en ai vu, il me semble difficile d'aborder correctement la RG avant le M2. Il faut de bonnes bases en mécanique classique (L3, pour l'analytique), de bonnes bases en relat restreinte (L3/M1) et quelques bribes de géométrie différentielle. Pour les très bons, en M1 ça se tente. Ou en ayant lu un cours de géométrie riemannienne avant.
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Articheau
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par Articheau » lun. mai 14, 2018 6:58 pm

Articheau a écrit : ↑lun. mai 14, 2018 3:06 am
Souvent, ont représente un espace courbe (en 2D), déformé par l'action d'un astre. Donc la surface est "plongé" dans un espace 3D, pour qu'on se rende compte de cette déformation.
Tout à fait. Et en réalité comme tu le dis, c'est l'espace 3D qui est déformé. Mais on ne peut pas le plonger dans un espace à 4 dimensions spatiales pour le voir parce que... on ne peut pas quoi, on vit dans un monde à 3D !
Mais en réalité, c'est l'espace en 3D qui est déformé selon une 4e dimension c'est ça ? (impossible à représenter du coup)
Euh non, ça ça ne veut rien dire :)
Bah si justement, c'est ce que tu dis juste au dessus ! :D

Après j'emploi surement pas le bon vocabulaire car je n'ai jamais fait de topologie, mais :

Une courbe, c'est une droite (en 1D), deformé selon une 2e dimension (plongé en 2D) : par exemple une courbe de fonction.

Je pensais à ce genre d'image :
Image

Là on as une surface en 2D déformé selon une 3e dimension.
siro a écrit :
lun. mai 14, 2018 10:04 am
En fait, le premier truc qu'on apprend en RG, il me semble, c'est de ne PAS chercher à penser l'espace-temps comme une sous-variété plongée, mais intrinsèquement comme une variété à courbure non nulle. Ce qui demande plus de taf au départ mais simplifie la vie après (et évite d'introduire des dimensions had hoc dont le sens physique serait au mieux artificiel). Donc @Articheau, l'espace-temps n'est pas en 3D avec une déformation selon une 4eme dimension, mais plutôt un espace en 4D (comme celui de la relat restreinte : signature -+++ ou +---, càd que la première dimension est différente des autres) avec une courbure non nulle.
D'accord, donc c'est impossible à se représenter ou à visualiser ?


Non plus.
On parle aussi du temps parce que lui aussi, tout comme l'espace, peut se déformer. Par exemple le temps passe plus ou moins vite selon que le champ de gravitation est plus ou moins fort. Et les déformations du temps sont liées à celles de l'espace, d'où l'appellation espace-temps (parce que les deux sont couplés).
Ok, c'est bien ce que je me disais alors
Enfin tout ça c'est assez violent pour un L1, pour ce que j'en ai vu, il me semble difficile d'aborder correctement la RG avant le M2. Il faut de bonnes bases en mécanique classique (L3, pour l'analytique), de bonnes bases en relat restreinte (L3/M1) et quelques bribes de géométrie différentielle. Pour les très bons, en M1 ça se tente. Ou en ayant lu un cours de géométrie riemannienne avant.
Oui, j'imagine bien sur, là c'était juste une question par curiosité, parce que j'avais l'impression que la fameuse image que j'ai mis au dessus n'était qu'une représentation assez limité, mais ça donne un peu l'idée quoi.

J'espère qu'un jour j'aurais à la fois le niveau mathématique et physique pour ce genre de chose. :)

D'ailleurs je sais pas si ça as un lien mais je suis allé voir il y as pas longtemps la conférence de jean pierre Luminet à paris. Il disait qu'il y a des théories selon lesquelles l'espace serait en fait une hypersphère, mais qu'on as pour l'instant pas réussi à le prouver.

Du coup je trouve ça fait un peu pense au gens qui pensais avant que la terre était plate. Quand on est dessus, on se dit qu'on est sur un disque, jusqu'au jour ou on fait le tour et on revient au même point. Bah peut-être qu'imaginer que l'univers est une sphère (comme on en as l'habitude), c'est un peu comme penser que la terre est un disque ? (si la théorie se confirme)
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par SL2(R) » lun. mai 14, 2018 8:14 pm

[...] il me semble difficile d'aborder correctement la RG avant le M2. [...]
Oui et non. Selon le résumé de John Wheeler : "Matter tells space how to curve. Space tells matter how to move."
  • La première partie : "La matière dit à l'espace comment se courber" est la plus difficile d'accès, car elle nécessite une bonne maitrise de la géométrie différentielle et des tenseurs pour écrire et comprendre les équations du champ d'Einstein.
  • La seconde partie : "L'espace dit à la matière comment se déplacer" est beaucoup plus accessible, car il suffit d'un peu d'algèbre et de calcul différentiel élémentaire (niveau L2) pour pouvoir étudier le mouvement d'un corps d'épreuve dans une géométrie fixée. C'est l'approche suivie dans l'excellent ouvrage suivant :

Edwin F. Taylor et John Archibald Wheeler, Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity, Addison Wesley (2000), ISBN 978-0-201-38423-X. Une deuxième édition (avec Edmund Bertschinger) est disponible gratuitement sur le site de Taylor.
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par siro » mar. mai 15, 2018 12:25 am

Mouais, je suis moyennement convaincu par la capacité d'un bac+2 à jongler pas à l'aveugle avec les concepts de géodiff... enfin pas en 4D. Déjà manipuler les courbures de surfaces 2D plongées en 3D (donc représentables mentalement) c'est assez odieux niveau calcul (allez définir la courbure d'une surface :mrgreen: ) (mais faisable pour un bon élève de spé/L2 ceci dit).
Alors en 4D, je pense que c'est compliqué.

Après un élève passionné peut parfaitement s'y mettre, mais il va falloir aller bien au delà du programme de licence (mais ça ne sera pas perdu, avec 2-3 ans de recul en RG en M2, ça simplifie les cours et les exams).

La formule de John Wheeler est très belle et élégante. Elle résume bien la richesse de l'équation d'Einstein.
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Re: Planete avec habitant en levitation

Message par siro » mar. mai 15, 2018 12:39 am

Articheau a écrit :
lun. mai 14, 2018 6:58 pm
Articheau a écrit : ↑lun. mai 14, 2018 3:06 am
Souvent, ont représente un espace courbe (en 2D), déformé par l'action d'un astre. Donc la surface est "plongé" dans un espace 3D, pour qu'on se rende compte de cette déformation. c'est une vue de l'esprit, sur ta nappe tu as une 3eme dimension qui aide à te représenter les choses
Tout à fait. Et en réalité comme tu le dis, c'est l'espace 3D qui est déformé. Mais on ne peut pas le plonger dans un espace à 4 dimensions spatiales pour le voir parce que... on ne peut pas quoi, on vit dans un monde à 3D !
Mais en réalité, c'est l'espace en 3D qui est déformé selon une 4e dimension c'est ça ? (impossible à représenter du coup) non. L'espace est en 4D, et ton cerveau est déjà incapable de visualiser la 4eme dimension temporelle (sauf si tu es TRES fort en maths, et encore, là on parle pas d'une dimension "géométrique" mais temporelle et le cerveau est mal câblé pour ça. Et la courbure n'est pas selon cette dernière dimension, elle est partout. Essaye de visualiser la **sphère** terrestre. Sur Terre, il n'existe pas de droites parallèles (elles se croisent toutes, parce qu'une droite sur Terre c'est forcément un grand cercle (= un cercle qui coupe la Terre en deux)). Et tu n'as pas besoin de "monter" ou "descendre" en altitude pour le constater, tu peux faire ce raisonnement en restant totalement sur une surface 2D (une sphère)
Euh non, ça ça ne veut rien dire :)
Bah si justement, c'est ce que tu dis juste au dessus ! :D Non. Bien tenté. :mrgreen:

Après j'emploi surement pas le bon vocabulaire car je n'ai jamais fait de topologie, mais : géométrie différentielle plus que topologie

Une courbe, c'est une droite (en 1D), deformé selon une 2e dimension (plongé en 2D) : par exemple une courbe de fonction. non, là encore tu réfléchis comme si tu devais voir une dimension en plus. Tu n'es pas obligé de rajouter des dimensions pour traiter les cas de courbure, et travailler en "intrinsèque" (sur ta surface elle-même) est bien plus porteur qu'en "extrinsèque" (après l'avoir plongé d'une manière non unique dans un certain espace). Imagine de nouveau une sphère imaginaire, de deux dimensions (donc contenant un volume). Tu n'as pas besoin de rajouter de dimensions pour "sentir" que si tu vas dans une direction pendant 1m, que tu tournes de 90° à droite, que tu avances de 1m, et que tu retournes de 90° pour faire 1m, tu vas revenir à ton point de départ. Et ça, c'est intrinsèque, ça ne dépend pas de ton plongement (que ta sphère flotte dans un espace en 3D, 4D, 1934D ou autre chose ne change rien à ce résultat).

C'est d'ailleurs LA grande découverte de Gauss, le fait que les variétés (généralisation des surfaces) ont des propriétés intrinsèques, indépendantes des surfaces.


Je pensais à ce genre d'image :
Image

Là on as une surface en 2D déformé selon une 3e dimension. Oui mais c'est une vue de l'esprit. Dans le cadre de la RG, il n'existe pas de telle dimension supplémentaire qui permette d'expliquer la courbure. Et le temps n'est PAS une dimension supplémentaire.
siro a écrit :
lun. mai 14, 2018 10:04 am
En fait, le premier truc qu'on apprend en RG, il me semble, c'est de ne PAS chercher à penser l'espace-temps comme une sous-variété plongée, mais intrinsèquement comme une variété à courbure non nulle. Ce qui demande plus de taf au départ mais simplifie la vie après (et évite d'introduire des dimensions had hoc dont le sens physique serait au mieux artificiel). Donc @Articheau, l'espace-temps n'est pas en 3D avec une déformation selon une 4eme dimension, mais plutôt un espace en 4D (comme celui de la relat restreinte : signature -+++ ou +---, càd que la première dimension est différente des autres) avec une courbure non nulle.
D'accord, donc c'est impossible à se représenter ou à visualiser ? Oui... et non. Les diagrammes d'espace-temps existent pour travailler en RG (heureusement qu'on peut faire des dessins en physique, on fait pas de l'arithmétique ou de la géodiff on est des humains nous :mrgreen: ) entre autres joyeusetés.


Non plus.
On parle aussi du temps parce que lui aussi, tout comme l'espace, peut se déformer. Par exemple le temps passe plus ou moins vite selon que le champ de gravitation est plus ou moins fort. Et les déformations du temps sont liées à celles de l'espace, d'où l'appellation espace-temps (parce que les deux sont couplés).
Ok, c'est bien ce que je me disais alors
Enfin tout ça c'est assez violent pour un L1, pour ce que j'en ai vu, il me semble difficile d'aborder correctement la RG avant le M2. Il faut de bonnes bases en mécanique classique (L3, pour l'analytique), de bonnes bases en relat restreinte (L3/M1) et quelques bribes de géométrie différentielle. Pour les très bons, en M1 ça se tente. Ou en ayant lu un cours de géométrie riemannienne avant.
Oui, j'imagine bien sur, là c'était juste une question par curiosité, parce que j'avais l'impression que la fameuse image que j'ai mis au dessus n'était qu'une représentation assez limité, mais ça donne un peu l'idée quoi.

J'espère qu'un jour j'aurais à la fois le niveau mathématique et physique pour ce genre de chose. :) Si tu bosses sérieusement ça peut le faire. Je te conseille de bosser bien les maths, notamment les fonctions de plusieurs variables, l'algèbre linéaire (et quelques bricoles en algèbre mais rien de bien méchant), et la géométrie pour le peu qu'on en fait en licence. Y'a moyen de jouer un peu avec la géodiff entre la L2 et la L3.

D'ailleurs je sais pas si ça as un lien mais je suis allé voir il y as pas longtemps la conférence de jean pierre Luminet à paris. Il disait qu'il y a des théories selon lesquelles l'espace serait en fait une hypersphère, mais qu'on as pour l'instant pas réussi à le prouver. des théories y'en a plein, mais pour ce qui est d'en construire des réfutables c'est moins vrai, et alors pour ce qui est de les vérifier on y est pas encore. Moi je pense que l'univers était un sandwich au poulet crudités avant le big bang.

Du coup je trouve ça fait un peu pense au gens qui pensais avant que la terre était plate. Quand on est dessus, on se dit qu'on est sur un disque, jusqu'au jour ou on fait le tour et on revient au même point. Bah peut-être qu'imaginer que l'univers est une sphère (comme on en as l'habitude), c'est un peu comme penser que la terre est un disque ? (si la théorie se confirme) La terre est belle et bien plate. Localement. C'est la base, la définition de ce qu'on appelle une variété : un espace qui est localement plat partout. :mrgreen:

Les histoires d'univers hypersphère c'est probablement lié à la mesure de la courbure du cosmos, mais je suis pas spécialiste. Je crois que la courbure est nulle et que c'est justement ce qui est très étrange. Mais peut-être qu'hibiscus sera plus frais et dispo sur le sujet que moi. (La cosmo et moi c'est une grande histoire d'amour.)
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