Gradient rotationnel

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Message par GaussX » 04 juil. 2018 17:37

Bonsoir, pour l oral de physique aurons-nous a notre disposition un formulaire des expressions de la divergence, rotationnel ?

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Re: Gradient rotationnel

Message par bullquies » 04 juil. 2018 18:38

la divergence et le rotationnel sont exigibles en coordonnées cartésiennes.

Si tu en as besoin dans un autre système de coordonnées, elles devraient t'être fournies. OU tu devras les retrouver pour l'examinateur.
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Re: Gradient rotationnel

Message par Hibiscus » 05 juil. 2018 05:09

Par contre, certains examinateurs de certains concours soupireraient si tu ne connaissais pas au moins l'expression de la divergence radiale en cylindriques et sphériques, par exemple..
Mais ils te la donneraient.
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Re: Gradient rotationnel

Message par Kieffer Jean » 05 juil. 2018 08:54

pas mieux que les réponses précédentes
par ailleurs,
en général on peut bien souvent s'en sortir avec un flux ou une circulation bien choisi(e) dans les cas simples
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Re: Gradient rotationnel

Message par siro » 05 juil. 2018 10:41

pour compléter, ça prend moins de temps d'apprendre au moins div en cylindrique, que de se triturer les méninges pour savoir si on va tomber dessus
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.

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Re: Gradient rotationnel

Message par Yoz » 05 juil. 2018 12:14

Tout à fait d'accord avec siro.
J'ai eu besoin de la divergence en cylindrique (avec invariance par rotation autour de l'axe z) dans un de mes oraux, et l'examinateur m'a demandé d'essayer de la trouver tout seul. Certes ce n'est pas vraiment au programme mais vu que le théorème de Gauss l'est...
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Re: Gradient rotationnel

Message par matmeca_mcf1 » 05 juil. 2018 13:28

C'est simple, il suffit de calculer la jacobienne d'un champ de vecteur en cylindrique:
$$ \left[
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial u_r}{\partial r}&\frac{1}{r}\left(\frac{\partial u_r}{\partial \theta}-u_\theta\right)&\frac{\partial u_r}{\partial z}\\
\frac{\partial u_\theta}{\partial r}&\frac{1}{r}\left(\frac{\partial u_z}{\partial \theta}+u_r\right)&\frac{\partial u_\theta}{\partial z}\\
\frac{\partial u_z}{\partial r}&\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \theta}&\frac{\partial u_z}{\partial z}.
\end{array}\right]
$$
Puis d'en calculer la trace pour obtenir la divergence en cylindrique.

Plus sérieusement, pour calculer la divergence dans n'importe quel système de coordonnées, il suffit de connaître l'expression du gradient (d'une fonction scalaire) dans ce système de coordonnées et de connaître la formule
$$
\mathrm{div}(f\vec{e})=f\mathrm{div}(\vec{e})+\nabla f\cdot \vec{e}
$$
Donc, en cylindrique
$$
\mathrm{div}(u_r\vec{e}_r+u_\theta\vec{e}_\theta+u_z\vec{e}_z)\\
=u_r\mathrm{div}(\vec{e}_r)+u_\theta\mathrm{div}(\vec{e}_\theta)+u_z\mathrm{div}(\vec{e}_z))
+\nabla u_r\cdot\vec{e}_r+\nabla u_\theta\cdot\vec{e}_\theta+\nabla u_z\cdot\vec{e}_z\\
=u_r\mathrm{div}(\vec{e}_r)+u_\theta\mathrm{div}(\vec{e}_\theta)
+\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}
$$

Il reste à calculer la divergence de $ \vec{e}_r $ et la divergence de $ \vec{e}_\theta $. On a
$$
\mathrm{div}(\vec{e}_r)=\mathrm{div}(\frac{1}{r}\vec{r})=\nabla\frac{1}{r}\cdot\vec{r}+\frac{1}{r}\mathrm{div}(\vec{r})\\
=\nabla\frac{1}{r}\cdot\vec{r}+\frac{2}{r}=\frac{1}{r}.
$$
car en cartésienne $ \mathrm{div}([x,y,0]^\top)=2 $. De même
$$
\mathrm{div}(\vec{e}_\theta)=\mathrm{div}(\frac{1}{r}r\vec{e}_\theta)=r\nabla\frac{1}{r}\cdot\vec{e}_\theta+\frac{1}{r}\mathrm{div}(r\vec{e})_\theta)\\
=0.
$$
car en cartésienne $ \mathrm{div}([-y,x,0]^\top)=0 $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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