Équation de d´alembert dans un ressort

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BijouRe
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Équation de d´alembert dans un ressort

Message par BijouRe » sam. juil. 14, 2018 8:05 pm

Bonjour,
Depuis quelque jour j’essaye d’en yrouver un autre moyen que l’utilisation d’une suite de ressort modélisant un ressort pour démontrer l’eqution de d’alembert
Connaîtriez vous un moyen à l´aide d’un bilan infinitésimale (sans utiliser la loi de hoocke)
Merci
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par saysws » sam. juil. 14, 2018 10:21 pm

Ca marche très bien avec une suite de ressort effectivement, je vois pas ou est le problème.
On part d'un modèle discret avec des ressorts liés et espacés au repos d'une certaine distance a, on détermine une relation entre l'allongement du nème ressort u_n et celles des n-1ème et n+1ème qui est de mémoire (avec les notations usuelles):
\( m\frac{d^2u_n}{dt^2}=k(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n) \)
Ensuite en faisant un DL on passe du discret au continue et c'est bon :
\( u_{n+1}(t)=u((n+1)a,t)=u(na,t)+a \frac{\partial u}{\partial x}+... \)
Les termes d'ordres 1 se simplifient et c'est bon.
Modifié en dernier par saysws le sam. juil. 14, 2018 10:30 pm, modifié 2 fois.
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par BijouRe » sam. juil. 14, 2018 10:28 pm

Je sais que cela marchebtres bien ^^
Mais je recherche une autre méthode qui suivrai plus la méthode proche de l’etablissement de l’euqation de d’alembert pour une onde trasnversale
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par saysws » sam. juil. 14, 2018 10:30 pm

Ha pardon j'ai mal lu :?
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par saysws » sam. juil. 14, 2018 10:34 pm

Sinon ça se fait en appliquant le PFD à une tranche de solide mais en utilisant le module d'Young, après il faut pas être trop difficile non plus :mrgreen:
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par bullquies » sam. juil. 14, 2018 10:36 pm

qu'est-ce qui te dérange dans cette méthode ?

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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par BijouRe » sam. juil. 14, 2018 10:59 pm

Pour l’histoire c’est un exo que j’au eu à l’X, l’examinateur ne voulait pas que je fasse la methode « discrète », et je cherche à savoir comment on peut faire (Car je suis rester 20 min devant un tableau à ne rien faire ^^).
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par matmeca_mcf1 » sam. juil. 14, 2018 11:20 pm

C'est dans quel cadre (pour quels phénomènes physiques)? En électromagnétisme, on peut l'obtenir à partir des équations de Maxwell. Mais cela ne fait que déplacer le problème (d'où viennent les équations de Maxwell). Sinon, c'est d'Alembert en 1D ou en 3D?
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par BijouRe » sam. juil. 14, 2018 11:23 pm

Le seul cas « au-programme » pour l’equation De d’alembert est effectivement en électromagnétisme.
Mais pour cet exercice on s´interresse à une onde de compression (longitudinale) dans un ressort
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par saysws » dim. juil. 15, 2018 1:07 am

Je maintiens que l'on obtient l'équation de d'Alembert directement à l'échelle macroscopique en effectuant un bilan des forces à droite et à gauche sur une tranche de longueur dx du solide. Après forcément on utilise le module d'Young et la loi de Hooke. Mais bon étudier les déformations des solides sans ces outils c'est un peu se ramener quelques siècles en arrière et il me semble que ça apporte pas grand chose.

Après les éxaminateurs de l'X sont parfois un peu (voir carrément) bizarres, et ceux des ENS encore plus de ce que j'ai constaté ces dernières semaines..
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par oty20 » dim. juil. 15, 2018 1:08 am

je pense avoir une idée sur ce qu'il attendait de toi, je reviendrais vers toi une fois que j'aurais le temps de rédiger , oui il y a un moyen sans la discrétisation....
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par bullquies » dim. juil. 15, 2018 2:07 am

Je vois qqch qui s'inspire de l'acoustique dans un fluide.

Disons que les variables du problème seraient la contrainte appliquée\( F(x,t) = F_0 + f(x,t) \), la vitesse des particules \( V(x,t) = V_0 + v(x,t) \) et la masse linéique \( L(x,t) = L_0 + l(x,t) \) avec f, l petits devant les valeurs à l'équilibre, v petit devant... (la vitesse de propagation des ondes qu'on trouvera)

Si on s'inspire des fluides, on peut supposer qu'il existe un coef de compression, c'est-à-dire une grandeur constante qui relie l'allongement relatif d'un matériau à la contrainte qu'on lui impose. (module d'Young) Après tout, un ressort se déforme de manière à peu près linéaire avec la force qu'on applique à ses extrémités tant qu'on reste raisonnables. Disons que ce coef est E. La variation de masse linéique augmente proportionnellement au changement de la contrainte ressentie en x -> \( El(x,t)/L_0 = f(x,t) \) (E a la dimension d'une force)

L'équation de conservation de la masse te donnera \( div(L \vec{v}) + \frac{\partial L}{\partial t}=0 \) qui devient, en gardant les termes du premier ordre et en jetant les termes du second ordre : \( L_0 \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial l}{\partial t} = 0 \) (1)

Enfin, un PFD appliqué à une tranche de solide comprise entre x et x+dx donnera \( L \frac{dv}{dt} = - \frac{dF}{dx} \), soit (pareil en ne gardant que les termes du premier ordre) : \( L_0 \frac{dv}{dt} = - \frac{df}{dx} \) (2)

tu dérives (1) par rapport au temps, (2) par rapport à x, tu remplaces \( f \) par \( E l / L_0 \), tu combines pour supprimer les \( v[(tex] et tu obtiens une jolie équation de d'Alembert qui décrit la propagation d'une onde à la vitesse \( c = \sqrt{\frac{E}{L_0}} \).

Tu peux retrouver ce résultat là : https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_d ... _un_solide avec \( \nu = 0 \) vu que j'ai supposé (à tort visiblement) que le solide ne se déforme pas transversalement quand on le compresse ou qu'on l'étire de manière longitudinale.

Ca devrait largement suffire pour un oral ! \)

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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par oty20 » dim. juil. 15, 2018 2:40 am

BijouRe a écrit :
sam. juil. 14, 2018 8:05 pm
Bonjour,
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Merci
Bon je me lance, on va supposer que l'origine de l'ondulation c'est une masse m qu'on accroche au ressort, alors qu'il était à vide avec une longueur \( l_{0} \) puis qu'on écarte de sa position d’équilibre pour l'ondulation , \( \alpha \) la masse linéique du ressort , \( k \) sa raideur :

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j’espère que c'est lisible .
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par BijouRe » dim. juil. 15, 2018 9:03 am

@saysws : Oui on peut avoir des suprises à l’X ^^ Mais le problème étant ici que le module de Young et la loi d’en Hooke sont HP ...

@Oty : Merci pour ton intervention ! En effet je pense que l’ecaminateur attendait exactement ce raisonnement. J’etais reste bloqué sur le lien entra la tansion et l’ecart, enfaite je ne comprend pas pourquoi cela revient à étudier la tension dû à un ressort de longueur AB
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Re: Équation de d´alembert dans un ressort

Message par oty20 » dim. juil. 15, 2018 11:35 am

Bonjour , on ne sait pas situer le centre de gravité du système on raisonne donc sur une tranche de longueur AB infinitésimal, pour pouvoir appliquer le PFD. C'est comme pour l’étude d'une corde ou par exemple pour montrer que la tension d'une corde inextensible de masse négligeable est la même en tout point.
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