Équation de d´alembert dans un ressort

[oty20]

je pense avoir une idée sur ce qu'il attendait de toi, je reviendrais vers toi une fois que j'aurais le temps de rédiger , oui il y a un moyen sans la discrétisation....

[bullquies]

Je vois qqch qui s'inspire de l'acoustique dans un fluide.

Disons que les variables du problème seraient la contrainte appliquée$ F(x,t) = F_0 + f(x,t) $, la vitesse des particules $ V(x,t) = V_0 + v(x,t) $ et la masse linéique $ L(x,t) = L_0 + l(x,t) $ avec f, l petits devant les valeurs à l'équilibre, v petit devant... (la vitesse de propagation des ondes qu'on trouvera)

Si on s'inspire des fluides, on peut supposer qu'il existe un coef de compression, c'est-à-dire une grandeur constante qui relie l'allongement relatif d'un matériau à la contrainte qu'on lui impose. (module d'Young) Après tout, un ressort se déforme de manière à peu près linéaire avec la force qu'on applique à ses extrémités tant qu'on reste raisonnables. Disons que ce coef est E. La variation de masse linéique augmente proportionnellement au changement de la contrainte ressentie en x -> $ El(x,t)/L_0 = f(x,t) $ (E a la dimension d'une force)

L'équation de conservation de la masse te donnera $ div(L \vec{v}) + \frac{\partial L}{\partial t}=0 $ qui devient, en gardant les termes du premier ordre et en jetant les termes du second ordre : $ L_0 \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial l}{\partial t} = 0 $ (1)

Enfin, un PFD appliqué à une tranche de solide comprise entre x et x+dx donnera $ L \frac{dv}{dt} = - \frac{dF}{dx} $, soit (pareil en ne gardant que les termes du premier ordre) : $ L_0 \frac{dv}{dt} = - \frac{df}{dx} $ (2)

tu dérives (1) par rapport au temps, (2) par rapport à x, tu remplaces $ f $ par $ E l / L_0 $, tu combines pour supprimer les $ v[(tex] et tu obtiens une jolie équation de d'Alembert qui décrit la propagation d'une onde à la vitesse $ c = \sqrt{\frac{E}{L_0}} $.

Tu peux retrouver ce résultat là : https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_d ... _un_solide avec $ \nu = 0 $ vu que j'ai supposé (à tort visiblement) que le solide ne se déforme pas transversalement quand on le compresse ou qu'on l'étire de manière longitudinale.

Ca devrait largement suffire pour un oral ! $

[oty20]

Bonjour,
Depuis quelque jour j’essaye d’en yrouver un autre moyen que l’utilisation d’une suite de ressort modélisant un ressort pour démontrer l’eqution de d’alembert
Connaîtriez vous un moyen à l´aide d’un bilan infinitésimale (sans utiliser la loi de hoocke)
Merci

Bon je me lance, on va supposer que l'origine de l'ondulation c'est une masse m qu'on accroche au ressort, alors qu'il était à vide avec une longueur $ l_{0} $ puis qu'on écarte de sa position d’équilibre pour l'ondulation , $ \alpha $ la masse linéique du ressort , $ k $ sa raideur :












j’espère que c'est lisible .

[BijouRe]

@saysws : Oui on peut avoir des suprises à l’X ^^ Mais le problème étant ici que le module de Young et la loi d’en Hooke sont HP ...

@Oty : Merci pour ton intervention ! En effet je pense que l’ecaminateur attendait exactement ce raisonnement. J’etais reste bloqué sur le lien entra la tansion et l’ecart, enfaite je ne comprend pas pourquoi cela revient à étudier la tension dû à un ressort de longueur AB

[oty20]

Bonjour , on ne sait pas situer le centre de gravité du système on raisonne donc sur une tranche de longueur AB infinitésimal, pour pouvoir appliquer le PFD. C'est comme pour l’étude d'une corde ou par exemple pour montrer que la tension d'une corde inextensible de masse négligeable est la même en tout point.