Loi de Snell-Descartes

[Telescope]

Bonjour,

On nous a proposés dans le livret de transition terminale-MPSI du lycée LLG une preuve élémentaire (mais élégante ) de la loi de Snell-Descartes que je vous mets en pièce jointe.

Cependant cette dernière me semble bien étrange puisqu'elle suppose que la lumière choisit le plus rapide chemin pour passer d'un point A à un point B. Il semblerait donc que la lumière sache d'avance qu'elle va changer de milieu et donc subir une modification de vitesse. Par conséquent, elle a du modifier sa trajectoire de sorte à ce qu' elle emprunte le chemin le plus rapide . Cependant ce phénomène ne remettrait il pas en cause un autre principe à savoir celui de <<action-réaction >> ? Comment réconcilier ce principe avec cette sorte de prédiction exercée par la lumière?

Je sens qu'il y a quelque chose qui cloche dans mon raisonnement mais je n'arrive pas à le repérer.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

Cordialement,

Télescope.

[Telescope]

Voici la démonstration.

[Hibiscus]

Ta demonstration ne s'affiche pas.

Cependant cette dernière me semble bien étrange puisqu'elle suppose que la lumière choisit le plus rapide chemin pour passer d'un point A à un point B. Il semblerait donc que la lumière sache d'avance qu'elle va changer de milieu et donc subir une modification de vitesse. Par conséquent, elle a du modifier sa trajectoire de sorte à ce qu' elle emprunte le chemin le plus rapide . Cependant ce phénomène ne remettrait il pas en cause un autre principe à savoir celui de <<action-réaction >> ? Comment réconcilier ce principe avec cette sorte de prédiction exercée par la lumière?

Tout simplement une notion qui n'est pas vraiment communiquée au lycée : "Le principe de moindre action"
Sous sa forme littéraire

« L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible. »

Tu connais ton principe de Fermat, consistant a dire que la lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit localement minimale. Donc oui, c'est tout a fait correct en pensée de dire "la lumière sait qu'elle veut aller la ou ça lui prend le moins de temps".
Tout simplement parce que ça minimise son action.

[Telescope]

Bonjour Hibiscus,

Je vous remercie tout d'abord pour votre réponse.

Je ne suis pas arrivé à joindre le fichier contenant la démonstration. Je poste donc un copie-coller de celle-ci:

《Exemple. Réfraction de la lumière

Cet exemple non évident est un des premiers succès du calcul différentiel. Il explique la loi de Snell-Descartes sur la réfraction de la lumière.
Supposons que la droite D, que nous prenons comme axe (Ox), partage le plan en deux milieux (les demi-plans y > 0, y < 0) dans lesquels la vitesse de la lumière est respectivement v1 et v2. Soient M1 = (a1, b1), M2 = (a2, b2) avec b1 > 0, b2 < 0
et, pour fixer les idées, a1 < a2 (faire un dessin).
On cherche le trajet minimisant le temps de parcours de la lumière de M1 à M2, c’c'est-à-dire le point M = (x, 0) tel que :
T(x) =(racine-carrée ((x − a1)(x - a1) + b1×b1)/v1
+
(racine-carrée ((x − a2)(x - a2)+ b2×b2)/v2

soit minimal. Pour un tel x, on a T ' (x)=0 c’est-à-dire :
(x − a1)/(v1×racine-carrée((x − a1)(x - a1) + b1×b1))
+
(x − a2)/(v2×racine-carrée((x − a2)×(x - a2) + b2×b2))
= 0.
Cette égalité montre que x est dans ]a1, a2[ et que, si α1 et α2 sont les angles respectifs de (M1 M) et (M2 M) avec la perpendiculaire à D en M, alors :
sin(α1)/v1 = sin(α2)/v2.

Cette égalité est la loi de Snell-Descartes. Le raisonnement précédent montre que cette loi se déduit d’un « principe variationnel » simple.》

Je commence à mieux saisir cette notion de minimisation de quantité d'action et je vous remercie beaucoup. Cependant il y a quelque chose que je n'arrive toujours pas à comprendre. Comment sait-on que la quantité d'action de la lumière dans un milieu est minimal lorsque son temps de passage dans ce dernier est minimal et non pas lorsque le trajet suivi par cette dernière est le plus court possible ?

Ainsi, si j'imagine une voiture qui roule à 80 km à l'heure sur une ligne droite de 80 km et une deuxième voiture (identique à la première) qui roule à 160 km à l'heure sur une autre ligne de 159 km (mais qui à le même début et la même fin que la première ligne) on conclura que malgré que la deuxième voiture soit arrivé en premier la quantité d'energie déployée par celle-ci est beaucoup plus grande que celle de la première voiture.

Ou alors l'exemple précédent n'est pas du tout révélateur si l'on considère que la lumière cherche en réalité toujours à marcher selon sa vitesse initiale(celle qu' elle atteint dans le vide) mais que l'environnement l'empêche ce qui donnerait avec l'exemple précédent:

Les moteurs des deux voitures fournissent une puissance suffisante pour faire rouler les deux voitures à 160 km à l'heure sur du goudon. Cependant comme le premier chemin est constitué de sables la premiere voiture roule en réalité à 80 km à l'heure. De même, comme le deuxième chemin est fait de goudron la deuxième voiture roule réellement à 160 km à l'heure. Dans ce cas on s'accordera à dire que la voiture qui arrive en premier est celle qui a fourni le moins d'efforts.

Je vous remercie d'avance à nouveau pour vos éclaircissements.

[Hibiscus]

Je ne reviendrai pas sur l'idée de prononcer le mot "principe variationnel" à des élèves qui ne sont pas encore en prépa, sachant que cette notion est en général vue en première année de physique d'école.

Je commence à mieux saisir cette notion de minimisation de quantité d'action et je vous remercie beaucoup. Cependant il y a quelque chose que je n'arrive toujours pas à comprendre. Comment sait-on que la quantité d'action de la lumière dans un milieu est minimal lorsque son temps de passage dans ce dernier est minimal et non pas lorsque le trajet suivi par cette dernière est le plus court possible ?

Le principe justement c'est que le mot "action", a une définition propre, mais son expression s'adapte selon les cas.
Une action, c'est ce qui marche pour faire "énergie x temps". Donc, pour un rayon lumineux, on a tendance à minimiser le temps, l'énergie étant directement trouvable.
- pL, par exemple, qui s'applique bien pour tes voitures, est de bonne dimension pour représenter une action. Dans ton cas, recourir à la quantité de mouvement d'un rayon lumineux obligerait à aller vers la définition de photon, et bon.. bof.
- EML² aussi.
- hbarre aussi (étonnant, non)
- un moment cinétique, etc..

[Néodyme]

Cependant cette dernière me semble bien étrange puisqu'elle suppose que la lumière choisit le plus rapide chemin pour passer d'un point A à un point B. Il semblerait donc que la lumière sache d'avance qu'elle va changer de milieu et donc subir une modification de vitesse. Par conséquent, elle a du modifier sa trajectoire de sorte à ce qu' elle emprunte le chemin le plus rapide.

Ce qui est embêtant c'est qu'on a l'impression que la lumière "pense" et "sait" que le chemin le plus court est ici et pas là bas, et en plus elle le sait avant d'y passer. Donc non seulement elle est consciente mais en plus elle viole la causalité...

En fait la lumière ne choisit rien du tout : elle va partout à la fois, elle se propage dans toutes les directions, mais il n'y a des interférences constructives (donc de la lumière visible, de l'énergie) qu'en des endroits particuliers. Ces endroits sont obtenus par le principe de Huygens-Fresnel : c'est là où la différence de marche entre rayons adjacents est nulle, donc là où le chemin optique est stationnaire, donc là où c'est "le plus rapide".

Tu comprendras mieux en 2ème année après le cours sur les interférences et les réseaux. Reviens par ici et je détaillerai

[Telescope]

Pour Hibiscus: je vous remercie à nouveau pour votre réponse. Les éléments nécessaires pour répondre à ma question semblent (très ) clairement en dehors de mon niveau. Cependant à présent, je sais au moins qu'il y a une réponse claire à ma question et j'ai aussi déjà une idée potentielle pour mon futur TIPE .

Pour Néodyme: Je vous remercie vous aussi beaucoup pour votre réponse. La réponse repose donc en plus directement sur des notions vues en prépa , voilà qui me motive encore plus à laisser cette idée de côté pour en faire un TIPE . Je ne manquerais pas de revenir sur cette page pout vous redemander plus d'explications (je la mets par ailleurs en marque-pages )

[fakbill]

On peut aussi dire que le même principe permet, par exemple, de démontrer qu'un boulet de canon suit à une trajectoire parabolique (sans frottements...) au lieu d'intégrer dp/dt = Sigma F avec conditions initiale.
C'est un bel exemple en physique parfaitement classique.
Le boulet de sait pas non plus ce qu'il doit faire, c'est juste que le principe de moindre action est fondamental.
Par contre, niveau maths, c'est un poil plus chaud.
Intégrer dp/dt = Sigma F avec des CI, c'est trivial, même en début de sup.
Touver la **fonction** qui minimise l'action est un sport plus complexe. On cherche une *fonction* telle qu'une certaine quantité qui l'implique soit extremale. Il y a des outils pour ça mais c'est plus complexe/fun qu'une bête équa diff. Pour continuer dans le fun, le principe par d'un extremun d'action. Il ne précise pas si c'est un min ou un max. On continue : Pourquoi existe t il UNE unique fonction solution? Cette unicité n'est pas du tout évidente

Bref, le principe de "moindre action" c'est fun

[saysws]

La réponse repose donc en plus directement sur des notions vues en prépa ,

Oui et non, le principe de Fermat tout comme Huygens-Fresnel sont hors-programme de prépa
(même si on les mentionne quand même en général)
Cela dit quand on parle de physique à quelqu'un qui sort de terminale la réponse "tu comprendra (mieux) en prépa" est toujours appropriée

[Telescope]

Bonjour Fakbill,

Je vous remercie beaucoup pour votre réponse

Je viens de comprendre précisément grâce à vous ce qui m'induisait en erreur. C'est le fait de considérer le principe de moindre action comme une théorie explicative plus qu'une loi fondamentale!

C'est donc parce la lumière obéit à ce principe qu'il y'aura forcément un phénomène physique (celui de Huygens-Fresnel comme me l'a si bien expliqué Néodyme) qui fera que la lumière obéit à loi de Snells-Descartes et donc au principe de moindre action. De même en faisant l'analogie avec le boulet C'est parce que ce dernier obéit à ce principe qu'il suivra la deuxième loi de Newton et suivra donc une trajectoire parabolique (j'attendrai de voir la manière d'établir ce résultat pour dire si C'est vraiment fun )

Dans tous les cas je remercie tous ceux qui m'ont permis de mieux comprendre ce phénomène.

[Telescope]

Bonjour saysws,

Haha, j'en doute pas .Je cherchais juste à avoir une explication à la main et non pas une explication physique pointilleuse.
De toute manière, quand on à jamais fait de physique (je ne me fais pas d'illusions ) je pense que c'est le meilleur type d'explication auquelle je peux prétendre.

[fakbill]

Oui voila c'est le *principe* de moindre action.
C'est un principe donc ça ne se démontre pas.
On suppose qu'il s'applique à toutes les branches de la physique.
Selon la branche, on écrit l'action qui correspond et on retombe sur des lois qui sont donc, de ce point de vue, moins fondamentales que ce prinicpe.
On peut aussi poser, en méca classique seulement, ce qu'on appellee le pricnipe de d'Alembert. Avec ce principe et les lois de Newton, on rédémontre le ""principe"" de moindre action dans le cadre de la méca classique...mais c'est moins joli car ça ne marche qu'en méca classique.

[siro]

Le problème du principe de moindre action, c'est qu'ensuite on lit des choses telles que "le système lit dans l'avenir et choisit délibérément l'économie d'énergie". Sauf qu'un système (comme un rayon lumineux) n'est pas a proprement parler une entité douée de conscience et de choix réfléchis...

En l'occurrence, la lumière ""sait"" déjà le futur vu qu'elle sait déjà où elle va arriver. La "divination" n'est donc pas a posteriori. C'est plutôt "sachant l'angle et l'endroit d'arrivée de la lumière, alors on est sûr qu'elle vient de tel endroit".

Le PMA c'est "sachant les conditions de départ ET d'arrivée..." et là on a plus de soucis de causalité.

[Telescope]

Hmm, je pense commencer à mieux saisir à présent l'origine de la multitude des définitions donnés par Hibiscus. Chacune d'entre elles correspondrait donc à la traduction 《mathématiques 》 de ce principe physique dans une branche donnée.

Je vous remercie beaucoup pour votre explication.

[Néodyme]

Oui voila c'est le *principe* de moindre action.
C'est un principe donc ça ne se démontre pas.
On suppose qu'il s'applique à toutes les branches de la physique.
Selon la branche, on écrit l'action qui correspond et on retombe sur des lois qui sont donc, de ce point de vue, moins fondamentales que ce prinicpe.

Moyennement d'accord...
À chaque fois il faut trouver le lagrangien qui va bien pour que le ppe de moindre action redonne les lois en questions. Comment tu fais pour obtenir L=T-V si tu ne connais pas la 2nd loi de Newton ? Idem en électromagnétisme ? C'est un peu une illusion et un tour de passe-passe je trouve mathématique je trouve.