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Date d'arret d'un pendule

Posté : lun. août 20, 2018 8:14 pm
par Chronoxx
Bonjour,

Je bloque sur une question d'un exercice de physique et j'ai du mal à comprendre la correction qui se voit très succincte.

Voici l'énoncé:
L'équation différentielle qui régit le comportement angulaire d'un pendule posé sur un support incliné tournant est :
$ \ddot{ \theta } =- \omega_{1}^{2} \theta + f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha $.
On suppose que $ \theta (t_g) = \theta_g $ et $ \dot{\theta}(t_g) = \Omega $.

1) Déterminer $ \theta (t>t_g) $.
2) En déduire la date d'arrêt du pendule, $ t_a $ et une condition pour que cette date existe.


Pour la question 1, je trouve (avec toute simplification) : $ \theta (t) = (\theta_g - \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}})\cos(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{\Omega}{\omega_{1}} \sin(\omega_{1}(t-t_g)) + \displaystyle\frac{f_d \omega_{0}^{2} \cos \alpha}{\omega_{1}^{2}} $.

Le problème est la question 2. Voici ce que me propose la correction :
L'équation à résoudre pour déterminer cet instant et l'angle $ \theta_C $ correspondant est :
$ \dot{\theta}=\Omega = -\omega_{1}(\theta_g - f_d cotan \alpha)\sin(\omega_{1}(t_C -t_g)) + \Omega \cos(\omega_{1}(t_C -t_g)) + f_d cotan \alpha $

Je ne comprends pas pourquoi cela revient à résoudre l'équation $ \dot{\theta}=\Omega $.

Merci d'avance ! :)


EDIT : Suppression des $ \omega_{0}^2 $ en trop

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : mer. août 22, 2018 6:32 pm
par Chronoxx
Up ? :roll:

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : mer. août 22, 2018 8:45 pm
par saysws
Bah en fait j'avais commencé à répndre à ton exo il y a 2 jour, mais il manque vraiment de sens :
-ton équa diff est celle d'un oscillateur harmonique ou on a "translaté" la position d'équilibre. Bref tu n'as pas de frottement, donc comme l'indique ta solution (flemme de voir s'elle est exacte mais elle a au moins l'air cohérente) ton pendule de n'arrête jamais. Ou alors il faudrait qu'il ne commence jamais à oscillé c'est à dire que tes deux termes soient nuls, ce qui ne m'a pas l'air possible au moins pour le terme en cos.
-pour ce qui est de résoudre $ \dot \theta =\Omega $ ça doit être qu'on se place dans le référentiel fixe et qu'on dit qu'à l'arrêt le pendule est immobile dans le référentiel tournant. Après vouloir faire des éxos de méca en référentiel tournant en sortant de terminale c'est un peu étrange..

Ton exo m'a paru tellement curieux que je craignais d'avoir mal compris un truc et du coup j'ai pas posté :)
(il était tard)
Mais il n'y a pas de doutes : un oscillateur harmonique ça ne s'arrête jamais, sauf si ça n'a jamais commencé à oscillé :mrgreen:

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : mer. août 22, 2018 9:13 pm
par bullquies
pareil, 2 choses : il n'y a pas de frottements ET la "solution" qu'on te propose contient du cotan (alpha) qui n'a aucune raison d'être... si ? alpha dépend de t ?

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : jeu. août 23, 2018 12:30 am
par Chronoxx
Merci beaucoup pour vos réponses ! :)
saysws a écrit :
mer. août 22, 2018 8:45 pm
Mais il n'y a pas de doutes : un oscillateur harmonique ça ne s'arrête jamais, sauf si ça n'a jamais commencé à oscillé
Oui effectivement, il n'y a pas d'atténuation. L'exo est donc très étrange. Pourtant, il est présenté comme un exercice de transition Term-Sup. Il y aurait donc une erreur selon vous ?...

bullquies a écrit :
mer. août 22, 2018 9:13 pm
contient du cotan (alpha) qui n'a aucune raison d'être... si ? alpha dépend de t ?
Je n'ai pas non plus compris ce détails :?. D'après le corrigé :
Image
(D'ailleurs, excusez-moi, j'ai rajouté des $ \omega_{0}^{2} $ en trop en tapant le corrigé dans mon premier message. Je corrige tout de suite)

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : jeu. août 23, 2018 12:59 am
par bullquies
De toutes façons il y a forcément une erreur dans l'énoncé : la solution de l'équation est périodique de période $ \frac{2 \pi}{\omega_1} $, il n'y a pas d'atténuation

Re: Date d'arret d'un pendule

Posté : mer. août 29, 2018 2:22 pm
par Mathkiller
Bonjour Chronoxx peut tu me passer le livre contenant ce type d'exo de transition, j'ai envi de travailler un peux de physique :) :) :) Et merci d'avance