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Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : jeu. nov. 01, 2018 8:30 pm
par Mosalahmoh
Salut. Dans l'onde electromagnetique quand il mes semble que j'ai compris de quoi il s'agit la vitesse de phase et celle de groupe je trouve un resultat qui n'est pas coherant avec ce que j'ai compris .Alors si quelqu'un peut m'expliquer ces notions et surtout pourquoi la viresse de phase peut depasser C et celle dz group peut dependre dd W .Merci .

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : jeu. nov. 01, 2018 8:40 pm
par Tornado99
La vitesse de phase d'une onde c'est la vitesse à laquelle elle se propage dans l'espace. Elle peut dépasser c dans le cas où tu utilises des ondes planes progressives monochromatiques( OPPM) car ces ondes n'ont pas d'existence réelle donc cela ne contredit pas l'intuition. Regarde du côté de la notion de paquet d'ondes pour bien comprendre la vitesse de phase. En gros un paquet d'ondes c'est la somme d'un nombre fini ou infini d'OPPM de pulsations proches. Les différentes phases de ton paquet d'onde vont se propager à des vitesses différentes. Le paquet d'onde peut se mettre sous la forme d'une onde moyenne se propageant à la vitesse de phase et l'amplitude va être modulée par une envoloppe se propageant à la vitesse de groupe. La vitesse de groupe peut dépendre de w car par définition vg = dw/dk. ( Tu peux montrer tout ça en considérant une composante quelquonde du champ E sous forme intégrale ( théorie de Fourier je crois ) )

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : ven. nov. 02, 2018 12:25 pm
par Mosalahmoh
Tornado99 a écrit :
jeu. nov. 01, 2018 8:40 pm
La vitesse de phase d'une onde c'est la vitesse à laquelle elle se propage dans l'espace. Elle peut dépasser c dans le cas où tu utilises des ondes planes progressives monochromatiques( OPPM) car ces ondes n'ont pas d'existence réelle donc cela ne contredit pas l'intuition. Regarde du côté de la notion de paquet d'ondes pour bien comprendre la vitesse de phase. En gros un paquet d'ondes c'est la somme d'un nombre fini ou infini d'OPPM de pulsations proches. Les différentes phases de ton paquet d'onde vont se propager à des vitesses différentes. Le paquet d'onde peut se mettre sous la forme d'une onde moyenne se propageant à la vitesse de phase et l'amplitude va être modulée par une envoloppe se propageant à la vitesse de groupe. La vitesse de groupe peut dépendre de w car par définition vg = dw/dk. ( Tu peux montrer tout ça en considérant une composante quelquonde du champ E sous forme intégrale ( théorie de Fourier je crois ) )
Merci mais je comprend pas comment le vitesse de group depend de w quand les ondes concernée ont des w défferents .

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : ven. nov. 02, 2018 2:36 pm
par SL2(R)
Exemple classique du programme de CPGE : la propagation d'une OPPH électromagnétique transverse dans un plasma dilué.

La relation de dispersion est : $ k^2 c^2 \ = \ \omega^2 \, - \, \omega_P^2 $

Pour $ \omega > \omega_P $, on a :
  • vitesse de phase :

    $ v_{\varphi} \ = \ \frac{\displaystyle \omega}{\displaystyle k} \ = \ \frac{\displaystyle c}{\sqrt{ \ \displaystyle 1 \, - \, \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \ }} \ \ge \ c $
  • vitesse de groupe :

    $ v_g \ = \ \frac{\displaystyle d\omega}{\displaystyle dk} \ = \ c \ \sqrt{ \ \displaystyle 1 \, - \, \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \ } \ \le \ c $

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : ven. nov. 02, 2018 3:25 pm
par Mosalahmoh
SL2(R) a écrit :
ven. nov. 02, 2018 2:36 pm
Exemple classique du programme de CPGE : la propagation d'une OPPH électromagnétique transverse dans un plasma dilué.

La relation de dispersion est : $ k^2 c^2 \ = \ \omega^2 \, - \, \omega_P^2 $

Pour $ \omega > \omega_P $, on a :
  • vitesse de phase :

    $ v_{\varphi} \ = \ \frac{\displaystyle \omega}{\displaystyle k} \ = \ \frac{\displaystyle c}{\sqrt{ \ \displaystyle 1 \, - \, \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \ }} \ \ge \ c $
  • vitesse de groupe :

    $ v_g \ = \ \frac{\displaystyle d\omega}{\displaystyle dk} \ = \ c \ \sqrt{ \ \displaystyle 1 \, - \, \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \ } \ \le \ c $
oui je connais cet example .Mais je comprend pas comment la vitesse de group peut dependre de w ce qui contredit la definition .

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : ven. nov. 02, 2018 4:52 pm
par Kieffer Jean
la vitesse de groupe se définit pour un paquet d'onde ie un continuum de fréquences centré sur une pulsation $\omega_1$
du coup la vitesse de groupe, qui est la vitesse de l'enveloppe de ce paquet d'onde, peut dépendre de $\omega_1$...

le "problème" je pense pour toi vient plus de la compréhension de la notion de paquet d'onde ... (qui n'est pas évidente car elle se rapproche de la notion de transformée de Fourier qui est HP ...)

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : ven. nov. 02, 2018 8:51 pm
par Mosalahmoh
Kieffer Jean a écrit :
ven. nov. 02, 2018 4:52 pm
la vitesse de groupe se définit pour un paquet d'onde ie un continuum de fréquences centré sur une pulsation $\omega_1$
du coup la vitesse de groupe, qui est la vitesse de l'enveloppe de ce paquet d'onde, peut dépendre de $\omega_1$...

le "problème" je pense pour toi vient plus de la compréhension de la notion de paquet d'onde ... (qui n'est pas évidente car elle se rapproche de la notion de transformée de Fourier qui est HP ...)
oui merci :)

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : dim. nov. 04, 2018 9:41 am
par SL2(R)
Prendre le cas le plus simple d'une superposition de 2 OPPH de même amplitude :

$ \psi(x,t) \ = \ \psi_0 \ \left[ \ \cos \, \left( \, \omega_1 \, t \ - \ k_1 \, x \right) \ + \ \cos \, \left( \, \omega_2 \, t \ - \ k_2 \, x \, \right) \ \right] $

$ \omega_i = \omega(k_i) $ est donné par la relation de dispersion, supposée connue. La trigonométrie permet d'écrire :

$ \psi(x,t) \ = \ 2 \, \psi_0 \ \left\{ \ \cos \, \left[ \, \left( \, \displaystyle \frac{\omega_1 \, + \, \omega_2}{2} \, \right) \, t \, - \, \left( \, \displaystyle \frac{k_1 \, + \, k_2}{2} \, \right) \, x \, \right] \ \times \ \cos \, \left[ \, \left( \, \displaystyle \frac{\omega_2 \, - \, \omega_1}{2} \, \right) \, t \, - \, \left( \, \displaystyle \frac{k_2 \, - \, k_1}{2} \, \right) \, x \, \right] \ \right\} $ (*)

On introduit la valeur moyenne $ \overline{k} $ et la différence $ \Delta k $ :

$ \overline{k} \ = \ \displaystyle \frac{k_1 + k_2}{2} $
$ \Delta k \ = \ k_2 - k_1 $

Par inversion, on a :

$ k_2 \ = \ \overline{k} \ + \ \displaystyle \frac{\Delta k}{2} $
$ k_1 \ = \ \overline{k} \ - \ \displaystyle \frac{\Delta k}{2} $

Faisons maintenant l'hypothèse supplémentaire que les deux $ k_i $ sont "proches", au sens où : $ \Delta k / \overline{k} \ll 1 $ . Avec la formule de Taylor, on obtient les expressions approchées des pulsations au premier ordre en $ \Delta k $ :

$ \omega(k_i) \ = \ \omega(\overline{k} \ \pm \ \frac{\Delta k}{2}) \ \simeq \ \omega(\overline{k}) \ \pm \ \displaystyle \frac{\Delta k}{2} \ \times \ \displaystyle \left. \frac{d\omega}{dk}\right|_{\overline{k}} \ + \ \dots $

soit, en posant $ \overline{\omega} = \omega(\overline{k}) $, et en introduisant la vitesse de groupe $ \overline{v}_g $ calculée en $ \overline{k} $ :

$ \omega_i \ \simeq \ \overline{\omega} \ \pm \ \displaystyle \frac{\Delta k}{2} \ \times \ \overline{v}_g \ + \ \dots $

A cette approximation, le paquet d'onde (*) se met sous la forme suivante :

$ \psi(x,t) \ = \ A(x-\overline{v}_g t) \ \times \ \cos \, \left( \, \overline{\omega} \, t \ - \ \overline{k} \, x \right) $

produit d'une "OPPH moyenne" par une enveloppe $ A(x,t) $ "lentement variable", enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe moyenne (qui dépend de $ \overline{k} $, donc de $ \overline{\omega} $ par la relation de dispersion) :

$ A(x-\overline{v}_g \, t) \ = \ 2 \, \psi_0 \ \cos \, \left[ \, \frac{\Delta k}{2} \, \left( \, x \, - \, \overline{v}_g \, t \, \right) \, \right] $

Re: Vitesse de phase vitesse de groupe .

Posté : lun. nov. 05, 2018 3:48 pm
par fakbill
Elle peut dépasser c dans le cas où tu utilises des ondes planes progressives monochromatiques( OPPM) car ces ondes n'ont pas d'existence réelle donc cela ne contredit pas l'intuition.
C'est inexact. Il n'y a pas de problème à ce que cette quantité soit >c car il n'y a pas de transport d'information à une vitesse >c
C'est le coup du phare. Si tu prends un phare (pour les bateaux) et que tu places un mur circulaire trèèèès loin autour du phare, le centre de la tache de lumière produite par le phare sur ce mur va se déplacer plus vite que c...et ça ne posera aucun problème fundamental car il n'y a pas de transport d'information à une vitesse >c.

Ce qui est vrai, c'est qu'un sinus pur n'existe pas. Un sinus physique à un début et une fin donc c'est toujours un sinus fois une function porte. Aucune onde ne peut etre parfaitement monochromatique (car sinon elle ne dévrait pas avoir début ni de fin dans le temps).