Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

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Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par mik2000 » 25 déc. 2018 22:58

Bonsoir à tous,
Je revisais l electrocinetique et je me suis posé une petite question :
Dans le cours de SI, on a vu le pic de Dirac , c'est une sorte de fonction qui a une très grande valeur sur un très petit intervalle de temps ( en dehors, cette fonction est nulle ) . On appelera cette fonction delta .
Dans le cours, il est écrit que la transformée de Laplace vaut 1.
Bon je n imagine pas bien cette fonction mais passons....

Ma question est... comment peut on multiplier cette fonction par un scalaire et donner un sens à sens a cette nouvelle fonction ? A a*delta ? Par ex quelle est la différence entre delta et 6* delta par exemple ?
6*delta a pour transformée de Laplace la valeur 6 donc on fait des calculs ... sans trop comprendre.

Merci d avoir un peu lu,
Mik

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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par bullquies » 25 déc. 2018 23:20

franchement à ce niveau si tu veux "voir" delta, il suffit de le comprendre comme la dérivée de la fonction d'heavyside (0 aux temps négatifs, 1 aux temps positifs). La fonction fait un saut brusque d'une unité, et le dirac mesure ce saut.

6*dirac mesure le saut quand on passe d'un 0 constant à un 6 constant brusquement.

Il a plein de propriétés géniales mais si sans la transformée de fourier c'est moyen
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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par JeanN » 25 déc. 2018 23:21

Dirac (mettons en 0) n'est pas vraiment une fonction.
Par contre, quand tu prends (presque) n'importe quelle fonction f et que tu intègres f*delta sur R, tu trouves f(0).
Si tu intègres 6*delta*f, par linéarité de l'intégrale, tu vas trouver 6*f(0). Donc 6*delta n'est pas égal à delta mais à 6*delta...
Plus d'infos dans la page wiki qui concerne les distributions.
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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par mik2000 » 25 déc. 2018 23:34

Merci pour vous réponses, je suis allé voir un peu un cours de maths dessus m'enfin.... jai compris que delta n'est pas une fonction . Après j'ai compris que en physique delta représentre un signal très intense durant un temps très court. Alors la fonction delta suffit pour cela ... a quoi bon définir 6*delta ? Dans un exemple du cours le prof de SI, met en entrée d'un filtre un truc du genre "amplitude"*delta....

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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par mik2000 » 25 déc. 2018 23:37

Donc en gros un 6*delta c'est un signal 6 fois plus intense que le delta normal ? Merci

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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par mik2000 » 25 déc. 2018 23:41

J'ai lu vos réponses avec les propriétés des dérivées ou intégrales mais ça ne me parle pas trop...

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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par bullquies » 25 déc. 2018 23:58

Il vaut mieux voir ça comme un objet abstrait qui a de bonnes propriétés à mon avis.

Sortons du contexte et disons que j'introduise à un lycéen "l'opérateur dérivée D" (c-a-d D(f) = f'), qui est linéaire. Si je définis un opérateur T = 2D, il n'y a pas d'ambiguité, T(f) = 2D(f) = 2f'. D n'est pas une fonction ou un nombre, mais je peux quand même lui coller un scalaire et ça a un sens.

De même, si on se place dans un espace de fonctions gentilles on peut imaginer un outil qui aide à mesurer la valeur d'une fonction en 0 et je l'appelle $ \delta $. C'est aussi une opération linéaire. Donc rien ne m'empêche de définir un nouvel outil qui donne $ a $ fois la valeur d'une fonction en 0, et de l'appeler sans ambiguité $ a \delta $.

Pour en revenir à ton cours, il se trouve juste qu'on peut reproduire l'effet de cet outil en utilisant une suite de fonctions triangles dont la base rétrécit et la hauteur augmente infiniment de manière à ce que la surface du triangle reste constante. D'où l'idée de "pic infini" en 0.
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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par siro » 26 déc. 2018 10:20

Si tu as déjà vu les produits scalaires "abstraits", par exemple $ \langle f , g \rangle = \int f . g $, tu peux voir l'objet $ \delta $ comme l'objet tel que $ \forall f, \langle f , \delta \rangle = \int f . \delta = f(0) $ (où f est une fonction réelle, et où l'on intègre sur $ \mathbb{R} $)

C'est, en simplifié, l'une de ses définitions. (Une autre se basant sur la théorie de la mesure.)

Sinon, on ne dit pas fonction de Dirac, mais distribution de Dirac, parce que ça n'est pas une fonction.
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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par Néodyme » 26 déc. 2018 10:48

Pour donner un autre point de vue :

Prends une fonction porte $ \Pi_n $ qui vaut $ n $ pour $ x $ compris entre $ -1/(2n) $ et $ 1/(2n) $, et 0 partout ailleurs.
On est d'accord que l'intégrale de cette fonction sur tout R est égale à 1 : l'aire sous la courbe vaut 1.

La fonction $ \delta $ peut être vue comme la limite quand $ n $ tend vers l'infini de la fonction $ \Pi_n $ : c'est donc un pic de plus en plus haut mais de largeur de plus en plus fine, avec la propriété que l'aire sous la courbe vaut toujours 1.

Maintenant si tu considères $ 6\delta $, c'est la limite de la fonction qui vaut $ 6n $ pour $ x $ compris entre $ -1/(2n) $ et $ 1/(2n) $, et 0 partout ailleurs. L'aire sous la courbe vaut toujours 6.

C'est le sens qu'on retrouve en électromagnétisme par exemple, où on décrit une charge ponctuelle $ q $ placée en O par la densité volumique de charge $ \rho(x) = q\delta(x) $ : on a bien la propriété que l'intégrale sur tout l'espace de $ \rho(x) $ donne la charge totale $ q $.

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Re: Le fameux pic de Dirac ( Elec, SI, Laplace...)

Message par siro » 26 déc. 2018 11:47

En gros, le pic de dirac c'est une "façon" de poser des charges ponctuelles dans l'espace, tout en respectant les théorèmes d'intégrales style Gauss. Mais comme on s'en doute, ça ne peut pas être stricto sensu une fonction. (Ce que Néodyme décrit c'est un peu la définition avec la théorie de la mesure du Dirac.)
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