Bilan de quantité de mouvement

[LoYKGL]

Bonsoir,

Je m'intéresse aux bilans de quantité de mouvement mais il y a quelque chose qui me chiffone. On définit un système fermé (donc de masse constante ?) mais comment est ce réellement possible lorsqu'un chariot avance sous la pluie ? (Débit massique Dm constant)

Comment définit on rigoureusement un système fermé lorsque la masse varie ?

Cordialement,

[Skizzy]

Comment définit on rigoureusement un système fermé lorsque la masse varie ?

Hello,

Si ta masse varie, tu ne peux pas simplement considérer un système ouvert ? Et tu prends en compte le flux entrant ?

Je me souviens avoir fait un exercice avec un vidange de Toricelli (avec un robinet qui rajoutait de l'eau) et on avait raisonné sur un système ouvert (mais on devait faire un bilan de masse).

Pour définir un système fermé sinon, tu prends ton volume de contrôle (fixe) et commun aux instants t et t+dt.
A l'instant t, le système fermé est consisté de ce volume de contrôle et du fluide admis,
et en t+dt, le système fermé est constitué de ce volume de contrôle et du fluide éjecté.

En fait, dans ta question, je ne vois pas le problème car tu dis faire un bilan de quantité de mouvement, donc je vois pas le problème de la masse, car celle-ci est en effet bien constante dans ton système fermé, mais la quantité de mouvement, elle, non.

[LoYKGL]

En fait ce qui me dérange c'est justement cette masse constante ! Je ne vois pas comment elle peut être constante..
http://adhenriet.free.fr/PC/TD_files/PC ... uides3.pdf
Typiquement là, exercice 2. "1. Un chariot, de masse m, est mobile sans frottement sur des rails horizontaux. A t=0, sa vitesse est V = V0ux.
Pour t>0, il pleut et la pluie tombe verticalement dans le chariot avec un débit massiqueconstant Dm. Déterminer la vitesse V (t) du chariot."

Tu définis quoi comme système fermé ?

[taupinperdu]

si je comprends bien
tu considères entre t et t+dt le système fermé composé du chariot et de l'eau qui atteint le chariot entre t et t+dt
on se place dans le référentiel des rails
la conservation de la composante horizontale de la quantité de mouvement impose que 0 = mdV + Ddt * v' avec v' = 0 la composante horizontale de la vitesse de la pluie, d'où V = cste = V0
pour moi c'est pas intuitif et surtout ça rend le débit inutile
je me trompe sûrement quelque part

[Skizzy]

Je vais essayer de faire un raisonnement clair (et juste, je l'espère).

Je considère le système fermé suivant (à l'instant $ t $) : le chariot (et donc le fluide qui est dedans) et les gouttes de pluie qui vont tomber dedans entre $ t $ et $ t + dt $.
(On a bien une masse constante du système fermé $ \Omega ^* $ entre $ t $ et $ t + dt $).

On va faire un bilan de quantité de mouvement entre $ t $ et $ t + dt $ sur le système fermé $ \Omega ^* $ :

A l'instant $ t $, $ \overrightarrow{P^* (t)} = ( m + D_m t ) V (t) \overrightarrow{u_x} + D_m dt \overrightarrow{v_{pluie}} $
A l'instant $ t + dt $, $ \overrightarrow{P^* (t+dt)} = ( m + D_m (t+dt) ) V (t+dt) \overrightarrow{u_x} $

On a donc : $ d \overrightarrow{P^*} = (( m + D_m (t+dt) ) V (t+dt) - ( m + D_m t ) V (t)) \overrightarrow{u_x} - D_m dt \overrightarrow{v_{pluie}} $

Le système précédent n'est soumis à aucune force selon $ \overrightarrow{u_x} $, donc : $ d \overrightarrow{P^*} . \overrightarrow{u_x} = 0 $, d'où : $ \overrightarrow{P^*_x (t)} = cste $.

Puis : $ ( m + D_m t ) V(t) = cste = mV_0 $.

Donc : $ V(t) = \dfrac{mV_0}{m + D_m t} $

Donc la vitesse diminue avec le temps, ce qui paraît logique car le chariot s'alourdit.
J'espère que c'était clair

Et si tu veux vérifier que tu as bien compris, je te conseille le fameux exo de la fusée (qui est vraiment dans le même genre, avec le poids en plus).

Edit : j'ai juste simplifié en enlevant une ligne.

[taupinperdu]

C’est limpide, merci !