Physique quantique

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Ramufasa
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Physique quantique

Message par Ramufasa » dim. mars 10, 2019 1:28 pm

Bonjour à tous,

J'ai un petit pb pour comprendre mon cours de physique quantique.
On considère une observable A et on note de la même manière l'opérateur hermitien associé. On note (un) une base orthonormé diagonalisant A, et (an) les valeurs propres correspondantes. Soit phi la fonction d'onde d'un système (S). On peut écrire phi comme combinaison linéaire des un : ainsi avant la mesure l'état phi est une superposition des états un et cela signifie qu'une mesure de phi peut donner a1 ou a2 ou a3 etc et les seules informations dont on dispose sont les probabilités de transition de phi à l'un des états un ie les probabilités de trouver an lors d'une mesure puisque c'est en mesurant que l'on projeter l'état de (S) sur l'un des états un. Est-ce bien cela ?

Si oui, alors je ne comprends pas le lien entre probabilité de transition entre états et densité de probabilité de présence. Puisque phi.phi (produit scalaire) est interprété comme la probabilité de trouver la particule dans la région de l'espace considérée mais aussi comme la probabilité de rester dans l'état phi.
Je pense m'être bien embrouillé et j'espère que vous pourrez m'aider à y voir plus clair :D

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donniedark
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Re: Physique quantique

Message par donniedark » dim. mars 10, 2019 6:28 pm

Bonjour,

Je pense que l'utilisation du vocabulaire "probabilité de transition" te trouble. Lorsque tu projettes un vecteur d'état sur u_n (en en faisant le produit scalaire) et que tu prends le carré du module de cette projection, tu obtiens la probabilité de mesurer la valeur a_n, mais ce n'est pas une probabilité de transition au sens strict. Si tu fais ta mesure et que tu obtiens effectivement a_n tu pourras conclure a posteriori que maintenant le vecteur d'etat a été projeté sur le sous espace propre associé à a_n. Il faut bien voir la chose en 3 temps : probabilité d'obtenir une certaine valeur propre lors de la mesure, mesure, et connaissance plus ou moins précise de ton vecteur d'état après la mesure d'une certaine valeur propre.

Pour le deuxième partie de ton post, je crois que tu confonds le produit scalaire $ <\psi | \psi> $ (qui vaut 1 si ton vecteur d'état est normalisé, ce qui est le plus souvent le cas, et qui représente dans ce cas la probabilité de mesurer ton système dans l'état $ |\psi> $), et par exemple $ |\psi(x)|^2dx $ qui est la probabilité élémentaire de trouver ta particule entre x et x+ dx pour un problème à 1 dimension (qui évidemment n'a aucune raison de valoir 1 et qui dépend de x). Le $ |\psi(x)|^2 $ qui apparaît dans cette probabilité est en fait égal $ |<x|\psi>|^2 $ où le bra x est le dual du vecteur propre de l'opérateur position associé à la position x, de la même façon que précédemment. C'est cette projection $ <x|\psi> $ qui est appelée fonction d'onde, ou amplitude de probabilité de présence (son module au carré peut être appelé densité de probabilité de présence).

J'espère t'avoir éclairé

EDIT : j'ai retiré un dx en trop
EDIT : correction orthographique
Modifié en dernier par donniedark le lun. mars 11, 2019 7:04 pm, modifié 4 fois.
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Re: Physique quantique

Message par Ramufasa » dim. mars 10, 2019 7:59 pm

Salut

Tout d'abord merci bcp de ta réponse, je pense que tu as bien compris mon problème.
Je me risque à qques reformulations pour voir si j'ai bien compris.

La première partie de ton message est très claire (à part au moment où tu écris "connaissance plus ou moins précise" : tu fais référence au cas où la valeur propre mesurée est dégénéree c'est bien cela ?)

C'est dans la deuxième partie de ton message que j'ai plus de mal. Pour moi, <phi | phi> = intégrale de module au carré de phi: c'est la définition du produit scalaire L^2 et la variable sur laquelle on intègre est bien la position x. C'est pour cela que je ne vois pas la différence avec l'autre produit scalaire que tu écris.

Il y a autre chose que je ne comprends pas. N'a-t-on pas <x|phi> = intégrale de x fois conjugué de phi ? Si oui, est-ce juste un abus de notation que de noter le résultat phi(x) ?
Enfin, le dx. À quel moment apparaît-il ?


Dois-je alors comprendre qu'en fait l'état de la particule phi ne dépend que du temps t soit phi(t) et que pour obtenir l'amplitude de probabilité de présence soit phi(x,t) il faut prendre le produit scalaire avec un vecteur propre x de l'opérateur position ?

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Re: Physique quantique

Message par donniedark » dim. mars 10, 2019 8:12 pm

Ramufasa a écrit :
dim. mars 10, 2019 7:59 pm
Salut

Tout d'abord merci bcp de ta réponse, je pense que tu as bien compris mon problème.
Je me risque à qques reformulations pour voir si j'ai bien compris.

La première partie de ton message est très claire (à part au moment où tu écris "connaissance plus ou moins précise" : tu fais référence au cas où la valeur propre mesurée est dégénéree c'est bien cela ?)
Absolument, dans le cas d'une valeur propre dégénérée, si tu ne connais pas exactement les coefficients de la decomposition de ton vecteur sur la base, tu ne connaîtras pas exactement le vecteur résultant après ta mesure, puisque c'est en fait la projection de ton vecteur précédent sur le sous espace propre en question. Alors que si la valeur propre est non dégénérée, le vecteur résultant après ta mesure sera simplement le vecteur de base associé.

C'est dans la deuxième partie de ton message que j'ai plus de mal. Pour moi, <phi | phi> = intégrale de module au carré de phi: c'est la définition du produit scalaire L^2 et la variable sur laquelle on intègre est bien la position x. C'est pour cela que je ne vois pas la différence avec l'autre produit scalaire que tu écris.
Oui, c'est l'intégrale sur R de $ |<x|\psi>|^2 dx $, et ça vaut 1.
Je répondrai un peu plus précisément et au reste un peu plus tard.
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Re: Physique quantique

Message par Ramufasa » lun. mars 11, 2019 1:22 am

Bonsoir,

La fonction d'onde est un des concepts fondamentaux de la mécanique quantique. Elle correspond à la représentation de l'état quantique {\displaystyle |\Psi (t)\rangle } d'un système dans une base de dimension infinie[1], en général celle des positions {\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }. Dans ce dernier cas, elle est notée {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}, qui par définition correspond à {\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle }, si l'état quantique {\displaystyle |\Psi (t)\rangle } est normé. (Source: Wikipedia)

Ainsi ce que je comprends, c'est que fondamentalement l'état de la particule considérée ne dépend que du temps soit phi(t) et que la notation phi(x,t) est abusive: il s'agit en fait de <x|phi>. Donc le module au carré de cette dernière quantité devrait me donner la probabilité de mesurer l'état x ie de trouver la particule à la position x. Il me manque donc juste le dx...

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Re: Physique quantique

Message par donniedark » lun. mars 11, 2019 3:57 am

Ce dx n'est pas mystérieux et vient simplement du fait que la base orthonormée diagonalisant l'observable position est continue.
Plus précisément, si tu veux écrire ton vecteur d'état développé sur cette base, il faut le faire avec une intégrale de la forme :
$ \displaystyle |\Psi(t)>= \int dx \Psi(x,t)|x> $
au lieu d'une somme discrète, avec $ \Psi(x,t) $ la fonction d'onde qui est donc en quelque sorte définie comme une composante du vecteur d'état par unité de longueur.
Si l'on fait le produit scalaire du vecteur d'état avec lui même, on a :
$ \displaystyle <\Psi|\Psi> = \int dx'\int dx \Psi^*(x')\Psi(x)<x'|x>\\
\displaystyle =\int dx'\int dx \Psi^*(x')\Psi(x)\delta(x-x')\\
\displaystyle =\int dx |\Psi(x)|^2 $
qui est usuellement pris égal à 1, on peut alors voir ça comme une somme de probabilités élémentaires $ dP = dx |\Psi(x)|^2 $ de trouver le système entre x et x+dx. Donc $ |\Psi(x)|^2 $ apparait mathématiquement comme une densité de probabilité.

Si tu veux, dit de manière plus imagé, ça n'a pas de sens de chercher à déterminer la probabilité de trouver le système en une position $ x $ parfaitement déterminée, car celle ci serait en fait nulle (on peut dire que c'est un événement de mesure nulle, si tu as fait un peu de theorie de Lebesgue en maths), à la place on définit une probabilité élémentaire de le trouver dans l'intervalle $ [x,x+dx] $, $ dP= dx |\Psi(x)|^2 $.
Cette "complication" est vraiment purement mathématique et vient simplement du fait que la base des positions est continue (de même que la base des impulsions).

Si tu as accès à une bibliothèque universitaire, je ne peux que te conseiller de consulter le bien connu livre de Claude Cohen-Tannoudji, volume 1 chapitres 2 et 3, tu y trouveras tout celà en détail exposé de manière on ne peut plus clair. Tu pourrais également jeter un oeil à des cours de maths sur les lois de probabilités à densité si ça t'intéresse.

PS :
Ramufasa a écrit :
dim. mars 10, 2019 7:59 pm

Il y a autre chose que je ne comprends pas. N'a-t-on pas <x|phi> = intégrale de x fois conjugué de phi ? Si oui, est-ce juste un abus de notation que de noter le résultat phi(x) ?
Enfin, le dx. À quel moment apparaît-il ?
Si tu calcules $ <x|\Psi> $ avec le $ |\Psi> $ que j'ai défini plus haut, tu vois que tu obtiens directement $ <x|\Psi>=\Psi(x) $ (je n'ai pas mis la dépendance en temps)

Par contre, ce que tu dis sur le fait que ça devrait valoir l'intégrale de x fois conjugué de $ \Psi $ est complètement faux : tu obtiendrais ce que tu dis en calculant ceci par exemple : $ \displaystyle\int dx <\Psi|\hat{X}|x> $, avec $ \hat{X} $ l'opérateur position qui est défini sur la base des états de position bien définie par : $ \hat{X}|x>=x|x> $

J'espère avoir éclairci les choses, je te conseille en tout cas vivement de jeter un œil au livre de Tannoudji.
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