Formule de Biot et Savart

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Egomet
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Formule de Biot et Savart

Message par Egomet » mar. avr. 09, 2019 11:03 pm

Bonjour,

La formule de Biot et Savart est-elle encore valable en un point où la densité de courant est non-nulle ? Je ne parviens pas à voir si l'on a bien $ \text{div}\,\,\mathbf{A} = 0 $ pour le potentiel-vecteur calculé comme solution de l'équation de Poisson $ \Delta\mathbf{A}=-\mu_\circ\,\mathbf{j} $.

Kieffer Jean
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par Kieffer Jean » mar. avr. 09, 2019 11:14 pm

$ \textrm{div} \mathbf{A}=0 $ est une condition dite "de jauge" (en l’occurrence la jauge de Coulomb) qui permet de fixer de manière unique le potentiel vecteur
en effet par définition celui-ci est défini à une gradient près.

la formule de Biot et Savart est valable même s'il y a du courant (même si elle est hors programme maintenant) et n'a pas grand chose à voir

à noter qu'on rencontre aussi la jauge de Lorentz pour les problèmes dépendant du temps
https://fr.wikipedia.org/wiki/Jauge_de_Lorenz

enfin l'équation de Poisson découle de la condition de jauge. En effet, on a
$ \textbf{rot}\,\mathbf{B}=\textbf{rot}\ \textbf{rot}\,\mathbf{A}=\textrm{grad}(\textrm{div}\mathrm{A})-\Delta \mathbf{A}=\mu_0\, \mathbf{j} $
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Hibiscus
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par Hibiscus » mer. avr. 10, 2019 2:05 am

Si je ne me trompe pas (bon, c'est plus que hors programme, et clairement anachronique, mais..)
On n'a pas besoin d'autre chose que d'une charge arbitraire ou une distribution de courant, de densité de charge/courant $ (\rho,J) $ pour trouver l'expression du champ électromagnétique (en tant qu'entité mixte qui possède toujours une composante électrique et magnétique créées simultanément par leurs sources communes à savoir des charges et des courants électriques variables, les équations de Maxwell seules (et leurs solutions) n'ayant pas de lien causal entre E et B).

Et donc, sans même définir de jauge (même si on en aurait a priori besoin), on peut toujours écrire
$ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \left[\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right)(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',} $$
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ',}
$
avec $ t_r $ le temps retardé, $ {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}, $ qui ne sont qu'une réécriture "dépendante du temps" de Biot&Savart
et s'appelent les équations de Jefimenko (62).
Evidemment, on est plus en magnétostatique, mais comme elles sont valables pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants..
(cf Jefimenko, Causality Electromagnetic Induction and Gravitation, Star City, Electret Scientific, 2000)
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Egomet
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par Egomet » mer. avr. 10, 2019 12:40 pm

Le choix de la jauge de Coulomb nous mène à l'équation de Poisson $ \Delta\mathbf{A}=-\mu_\circ\mathbf{j} $. L'étude analogue menée en électrostatique sur cette équation nous apprend que le potentiel-vecteur s'écrit comme somme des contributions de chaque élément de courant :
$ \displaystyle\mathbf{A}=\frac{\mu_\circ}{4\pi}\iiint\frac{\mathbf{j}\,\delta\tau}{r}\qquad(1) $

Ce que je comprends c'est que l'expression ci-dessus est une solution possible pour $ \mathbf{A} $ : elle est solution de l'équation que vérifie $ \mathbf{A} $, mais il faudrait un résultat d'unicité pour conclure à l'égalité. La question est donc la suivante : l'identité (1) est-elle valable ?

Si elle l'est, l'expression de $ \mathbf{A} $ qu'elle fournit doit en particulier être à divergence nulle. Or si nous prenons $ \mathbf{A} $ défini par cette expression, il vient, en notant M le point de l'espace où l'on calcule la divergence et P le point où se trouve l'élement de courant $ \mathbf{j}\delta\tau $ :

$ \displaystyle\text{div}_\mathrm{M}\,\,\mathbf{A} $
$ \displaystyle=\frac{\mu_\circ}{4\pi}\iiint\text{div}_\mathrm{M}\,\,\frac{\mathbf{j}}{r}\delta\tau $
$ \displaystyle=\frac{\mu_\circ}{4\pi}\iiint\mathbf{j}\cdot\mathbf{grad}_\mathrm{M}\,\,\frac{1}{r}\delta\tau $
$ \displaystyle=\enspace-\enspace\frac{\mu_\circ}{4\pi}\iiint\mathbf{j}\cdot\mathbf{grad}_\mathrm{P}\,\,\frac{1}{r}\delta\tau $
$ \displaystyle=\enspace-\enspace\frac{\mu_\circ}{4\pi}\iiint\text{div}_\mathrm{P}\,\,\frac{\mathbf{j}}{r}\delta\tau $

(car $ \text{div}_\mathrm{P}\,\,\mathbf{j}=0 $ par l'équation de conservation de la charge).

Si le domaine où $ \mathbf{j} $ n'est pas nul est borné, on peut restreindre le domaine d'intégration à un volume borné à la frontière duquel $ \mathbf{j} $ est nul et l'on a bien $ \text{div}\,\,\mathbf{A}=0 $ par le théorème d'Ostrogradski. Mais dans le cas contraire l'intégrale n'est pas forcément nulle, donc la solution particulière (1) de l'équation de Poisson n'est pas à divergence nulle !

De plus, nous avons permuté les opérateurs divergence et intégration : je comprends que ce soit licite si $ \mathbf{j}=0 $ en M mais dans le cas contraire, cela me paraît beaucoup moins clair (à cause du $ 1/r $).

Ceci pour dire qu'il ne me semble pas clair que l'identité (1) définisse bien $ \mathbf{A} $. Dans les cas où la divergence du potentiel-vecteur obtenu par (1) est non-nulle, l'expression est forcément fausse ; dans les cas où elle est nulle, elle est peut-être vraie ; d'où ma question :

Supposons borné le domaine où $ \mathbf{j} $ n'est pas nul et considérons la solution $ \mathbf{A} $ fournie par (1).
— A-t-on $ \text{div}_\mathrm{M}\,\,\mathbf{A}=0 $ en tout point M, même si $ \mathbf{j} $ n'est pas nul en ce point ?
— Si $ \text{div}\,\,\mathbf{A}=0 $, peut-on conclure qu'il s'agit de la bonne solution ?

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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » mer. avr. 10, 2019 2:47 pm

La formule de Biot et Savart est-elle encore valable en un point où la densité de courant est non-nulle ?
Oui. L'intégrande de Biot et Savart est :

$ \displaystyle \frac{\vec{j}(S) \wedge \vec{SM}}{||\vec{SM}||^3} \ d\tau_S $

Si le point M est situé dans la distribution de courant, cette expression peut sembler singulière puisque S sera confondu avec M lors de l'intégration sur tous les points S de la distribution.

En réalité, l'intégrale reste bien définie partout. Pour le montrer lorsque le point M est situé dans la distribution de courant, on découpe celle-ci en une petite boule B centrée en M et son complémentaire. L'intégrande reste toujours finie sur le complémentaire de la boule, car S n'y est jamais confondu avec M.

En introduisant des coordonnées sphériques de centre M dans la boule, on a : $ \vec{MS} = r \ \vec{u}_r(\theta,\varphi) $ , et :

$ \displaystyle \frac{||\vec{j}(S) \wedge \vec{SM}||}{||\vec{SM}||^3} \ d\tau_S \ \le \ \frac{max||\vec{j}||}{r^2} \ \times \ r^2 \ dr \ d\Omega(\theta,\varphi) \ = \ max||\vec{j}|| \ \times \ dr \ d\Omega(\theta,\varphi) $

L'intégrale sur la boule est donc finie si $ ||\vec{j}|| $ est borné.
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » mer. avr. 10, 2019 3:06 pm

Il faudrait un résultat d'unicité
Il existe. Considérons le problème elliptique de Dirichlet suivant :

$ \Delta V \ = \ s $ sur le domaine spatial $ \Omega \subset \mathbb R^3 $ (la source s est supposée donnée)

$ V \ = \ V_0 $ sur le bord $ \partial \Omega $.


La preuve se fait par l'absurde : supposons que $ V_1 $ et $ V_2 $ soient deux solutions différentes.
Alors la différence : $ V = V_2 - V_1 $ est harmonique sur $ \Omega $ :

$ \Delta V \ = \ 0 $

et elle vérifie la condition aux limites : $ V \ = \ 0 $ sur $ \partial \Omega $.

La seule solution est : V = 0 partout, d'où l'unicité.

-------------------------------------------------------------------------
PS La solution fondamentale usuelle de l'électrostatique :

$ \displaystyle - \ \Delta V \ = \ \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad \Longrightarrow \quad V(M) \ = \ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \ \iiint_S \frac{\rho(S)}{||\vec{SM}||} \ d\tau_S $

suppose une distribution localisée dans l'espace $ \Omega = \mathbb R^3 $ et la condition aux limites : V tend vers zéro à l'infini.

Le problème magnétostatique se traite par analogie.
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » mer. avr. 10, 2019 3:16 pm

[...] les équations de Jefimenko [...]
Ces expressions dérivent des "potentiels retardés". Elles supposent encore une fois que les distributions de charge et de courant soient localisées dans l'espace pour que les intégrales spatiales aient un sens.

Par ailleurs, sans précisions supplémentaires de conditions aux limites et d'une condition initiale, ces expressions ne sont pas uniques : on peut par exemple toujours y ajouter une solution "libre" des équations de Maxwell sans sources (c'est la même chose pour les potentiels retardés ...).
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par Egomet » jeu. avr. 11, 2019 12:19 pm

D'accord, merci pour ces précisions !

Peut-on concevoir une situation où la distribution de courant n'est pas localisée dans l'espace et où la formule de Biot et Savart soit mise en défaut ?

Y a-t-il encore unicité au problème de Dirichlet où l'on fixe la limite de V à l'infini suivant chaque demi-droite de l'espace ? (Cela permettrait d'appliquer la formule de Biot et Savart au cas d'un fil rectiligne illimité.)

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Re: Formule de Biot et Savart

Message par matmeca_mcf1 » jeu. avr. 11, 2019 8:37 pm

C'est le forum de physique mais je vais donner le point de vue du mathématicien qui fait les calculs au sens des distributions.

Pour Biot et Savart, je n'ai pas calculé ce que cela donnait rigoureusement. Pour un autre problème similaire, où on calcule le champ (excitation) démagnétisant $ \boldsymbol{H} $ en fonction de l'aimantation $ \boldsymbol{M} $. Ie, la solution de
$$
\mathrm{div}(\boldsymbol{H})=-\mathrm{div}(\boldsymbol{M})\\
\mathrm{rot}(\boldsymbol{H})=0
$$
plus des conditions aux limites à l'infini sur $ \boldsymbol{H} $ (par exemple, imposer que $ \boldsymbol{H} $ est $ L^2(\mathbb{R}^3) $ si $ \boldsymbol{M} $ l'est. Alors, si on fait les calculs rigoureusement (au sens des distributions, ou en passant par la transformée de Fourier), on obtient la formule intégrale qui donne $ \boldsymbol{H} $ en fonction de $ \boldsymbol{M} $:
$$
\boldsymbol{H}(P)=\int_\Omega\left(\frac{3(\boldsymbol{M}(Q)\cdot\vec{QP})\vec{QP}}{QP^5}-\frac{M(Q)}{QP^3}\right)\mathrm{d}Q - \frac{\boldsymbol{M}(P)}{3}
$$
$ \Omega $ est le corps matériel à l'intérieur duquel l'aimantation est non nul. Le deuxième terme est nul en dehors du corps aimanté.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP)
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » mar. avr. 16, 2019 12:14 am

Y a-t-il encore unicité au problème de Dirichlet où l'on fixe la limite de V à l'infini suivant chaque demi-droite de l'espace ?
Oui. Lorsque j'écris la condition aux limites de Dirichlet, il faut lire : $ V(M) = V_0(M) $, où $ V_0(M) $ est une fonction suffisamment régulière donnée sur le bord (i.e. pour $ M \in \partial \Omega $), cette fonction n'étant pas nécessairement constante !

Il faudrait écrire ici en coordonnées sphériques :

$ \displaystyle \lim_{r\to+\infty} V(r,\theta,\varphi) \, = \, V_0(\theta,\varphi) $

mais dans ce cas, l'expression analytique de la solution ne sera pas donnée par la formule :

$ \displaystyle V(M) \, = \, \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \ \iiint_S \frac{\rho(S)}{||\vec{SM}||} \ d\tau_S $
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Re: Formule de Biot et Savart

Message par SL2(R) » mar. avr. 16, 2019 12:56 am

Peut-on concevoir une situation où la distribution de courant n'est pas localisée dans l'espace et où la formule de Biot et Savart soit mise en défaut ?
Lorsque une distribution n'est pas localisée, l'intégrale qui donne le potentiel peut diverger.

Comme exemple classique, on étudie l'analogue électrique du fil infini : le cylindre homogène de rayon R, uniformément chargé. Lorsqu'il est de hauteur finie, il n'y a qu'une invariance par rotation autour de l'axe ; en coordonnées cylindriques, on a : $ V(M) = V(r,z) $. Si on le suppose infini, on rajoute une invariance par translation le long de l'axe, donc : $ V(M) = V(r) $. Le champ électrostatique est alors purement radial :

$ \vec{E}(M) \, = \, E_r(r) \ \vec{u}_r $

Le théorème de Gauss permet de calculer le champ en fonction de la densité linéïque de charge $ \lambda = dQ/dz $. A l'extérieur du cylindre (r > R), on obtient :

$ \displaystyle E_r(r) \ = \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0 \ r} $

(On obtiendrait le même résultat pour le modèle linéïque d'un fil d'épaisseur nulle : R=0).

En utilisant la relation entre le champ et le potentiel électrostatique :

$ \vec{E}(M) \, = \, - \, \vec{\nabla} \, V(M) $

on obtient l'expression du potentiel à l'extérieur du cylindre :

$ \displaystyle V(r) \, = \, - \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0} \ \ln \, \left( \, \frac{r}{r_0} \, \right) \ + \ V_0 $

où : $ V_0 = V(r_0) $ . On observe ici qu'en raison du logarithme, il est impossible d'imposer la condition aux limites d'annulation à l'infini :

$ \displaystyle \lim_{r\to+\infty} V(r) \, \ne \, 0 $

Essayons maintenant de calculer le potentiel avec la solution fondamentale de l'équation de Poisson. L'invariance par translation permet de choisir le point M dans le plan z = 0. L'intégrale du modèle linéïque s'écrit alors :

$ \displaystyle V(r) \ = \ \frac{\lambda}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\sqrt{r^2 + z^2}} $

Cette intégrale diverge pour tout r positif ! (*)

En revanche, l'intégrale qui donne le champ électrique converge sans problème, et redonne le bon résultat :

$ \displaystyle E_r(r) \ = \ \frac{\lambda \, r}{4 \, \pi \, \epsilon_0} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\left( \, r^2 + z^2 \, \right)^{3/2}} \ = \ \frac{\lambda}{2 \, \pi \, \epsilon_0 \ r} $

(Pour calculer l'intégrale, faire e.g. le changement de variable : $ z \to \psi $ tel que : $ z = r \sinh \psi $)


Le problème magnétostatique se traite de façon analogue. La formule intégrale de Biot et Savart qui donne le champ magnétique d'un fil rectiligne infini converge et donne le bon résultat (que l'on peut obtenir plus simplement avec le théorème d'Ampère). En revanche, l'intégrale censée donner le potentiel-vecteur diverge. Le potentiel-vecteur étant un vrai vecteur, on a par symétrie :

$ \vec{A}(M) \ = \ A_z(r) \ \vec{u}_z $

On retrouve la même intégrale divergente que dans le problème électrique :

$ \displaystyle A_z(r) \ = \ \frac{\mu_0 \, I}{4 \, \pi} \ \int_{-\infty}^{+\infty} \ \frac{dz}{\sqrt{r^2 + z^2}} $


-----------------------------------------------------------
(*) Il existe une méthode Hi-Tech appelée "renormalisation" qui permet d'extraire une réponse physique censée de l'intégrale divergente. Elle permet de retrouver le comportement logarithmique du potentiel.
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