Géométrie du plan

[carrieres]

Bonjour,

Voilà l'énoncé de mon problème

On note D l'ensemble formé par les homothéties du et les translations du plan P.
1) Soit (M,N) appartenant à P², f appartient à D, on pose M'=f(M), N'=f(N).
Montrer que :
f appartient à D <-> il existe un réel non nul k tel que $ \vec{M'N'} = k\vec{MN} $


Je voudrais en fait savoir si on peut associer le plan à un plan complexe afin d'écrire les homothéties et les translations avec des complexes ? Parce que en faisant ça j'arrive à prouver l'égalité, mais je ne sais pas si on peut le faire comme ça.

Merci d'avance pour votre aide

[Madec]

dans le sens direct :

je note f~ l'application linéaire associée à l'application affine f

pour toute application affine f et tout couple de points MN on a par définition ( j'omets les fléches sur les vecteurs) :
f(M)f(N) = f~(MN)
si f est une homothéties affine f~ est une homothétie vectorielle , donc il existe k tel que f~(u) =ku pour tout vecteur u
donc f~(MN)=k MN
si f est une translation f~ = Id
donc f~(MN)=MN

dans tous les cas f(M)f(N)= kMN (k=1 pour la translation)

réciproque :
si k=1 on a :
MN= f~(MN)=f(M)f(N) = f(M)M +MN+Nf(N)
soit Mf(M) = N f(N) pour tout couple de point (M, N)
soit Mf(M) = U où U est un vecteur fixe , c'est bien la définition d'une translation

si k # 1 on cherche un point fixe A , il doit vérifier
kOA=f(O)f(A)=f(O)A
soit (k-1) OA = f(O)O
donc A est définie et unique puisque k# 1
ensuite on a Af(N)=kAN
et donc f est l'homothétie de centre A et de rapport k