Je souhaite terminer un exo de kholle de cette semaine pour préparer le DS sur l'induction. Je n'avais pas fini l'exo en kholle, et j'aimerais un petit coup de pouce! [il se peut que l'énoncé soit incomplet, je prie donc le kholleur, s'il me lit, de combler mes trous de mémoire
]1) Pas de problème a priori : $ \displaystyle \vec{B}(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec{u_{\theta}} $ (en coord cylindriques)On considère un cadre conducteur, de résistance R, qui se déplace à la vitesse constante $ \displaystyle \vec{v}=v\vec{u_r} $. Il s'éloigne d'un fil infini d'axe (Oz) parcouru par un courant $ \displaystyle I $. Un petit schéma parlant : cf bas du message
1) Calculer le champ magnétique crée par le fil en tout point de l'espace.
2) Calculer la puissance à fournir au cadre pour maintenir sa vitesse constante (*)
3) Quelles approximations peut-on faire .. (*)
(*) = énoncé approximatif ^^
(**) = énoncé plus qu'approximatif
2) Ca se gâte ! Je ne savais pas de quoi partir, alors j'ai eu l'envie de calculer la résultante des forces de Laplace : $ \displaystyle d\vec{F_L}_{segment}=i\vec{dl}\wedge\vec{B} $ . J'ai donc besoin de connaître i, le courant parcourant le cadre : on l'obtient à partir de $ \displaystyle i=\frac{e}{R} $ où $ \displaystyle e=e_{ABCD}=-\frac{d\Phi}{dt} $. C'est gagné, on connaît tout.
Un pti calcul donne le flux du champ magnétique à travers le cadre :
$ \displaystyle \Phi=\iint_{cadre}\vec{B}.d\vec{S}=\int_{z=0}^a\int_{r=vt}^{vt+b}[B(r)\vec{u_{\theta}}].[dr dz (-\vec{u_{\theta}})] $
$ \displaystyle \Phi=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(\frac{vt+b}{vt}\right)=-\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\times\ell n\left(1+\frac{b}{vt}\right) $
En écrivant ces lignes, une question me vient : les bornes des intégrales ont-elles une importance ? Parce que j'ai choisi arbitraitement d'intégrer r sur [vt,vt+b] mais sur [vt+b,vt], ça change les signes, non ?
Bref, on accède à e : $ \displaystyle e(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi t(vt+b)} $ puis à i(t) : $ \displaystyle i(t)=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)} $
¤ On calcule maintenant les forces de Laplace sur chaque segment du cadre. On remarque que $ \displaystyle \vec{F_L}_{BA}=-\vec{F_L}_{DC} $
Sur les deux autres :
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{AD}=i(t)(-dz\vec{u_z})\wedge B(vt)\vec{u_{\theta}}=i(t)dzB(vt)\vec{u_r} $
$ \displaystyle d\vec{F_L}_{CB}=i(t)(dz\vec{u_z})\wedge B(vt+b)\vec{u_{\theta}}=-i(t)dzB(vt+b)\vec{u_r} $
Paf, on sort i et B de l'intégrale et on intègre sur la longueur a, il sort : $ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Iab}{2\pi Rt(vt+b)}\times a\times\left(\frac{1}{vt}-\frac{1}{vt+b}\right)\vec{u_r} $
$ \displaystyle \vec{F_L}=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rvt^2(vt+b)^2}\vec{u_r} $
Cette force s'oppose au déplacement, c'est en accord avec la loi de Lenz. Sa puissance vaut $ \displaystyle \mathcal{P}(\vec{F_L})=-\frac{\mu_0Ia^2b^2}{2\pi Rt^2(vt+b)^2} $
Là c'est le drame, comment relier ça à la question ? Et pour la suite, j'imagine qu'il faut faire un DL en b/(vt) mais bon, ça ne sera valable qu'à partir d'un certain temps ...
Une petite aide serait la bienvenue !
Merci et bonne soirée
intégrer sur z et r tous deux croissants
Fabert (Metz)
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