Théorème du transfert

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Zitoune

Re: Théorème du transfert

Message par Zitoune » 07 avr. 2009 23:57

Oui je voulais mettre en avant le fait qu'une espérance conditionnelle est a priori une application (même dans le cas discret). Après, je me suis mal arrangé :?
J'ai le malheur de ne pas connaître le programme ECS, donc mon message n'a effectivement aucun intérêt. (Et si c'est comme la définition de la compacité pour les PC, il est fort probable que cela n'ait même pas de sens.)

Au temps pour moi. :oops:

Eti-N

Re: Théorème du transfert

Message par Eti-N » 08 avr. 2009 00:00

Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que $ X1_A $ admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par $ E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A) $. Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))

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LB

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Re: Théorème du transfert

Message par LB » 08 avr. 2009 11:36

Les notations en probas sont particulières tout de même. C'est le seul domaine (en maths françaises donc Bourbakisées, du moins) où l'on écrit "h(X)" pour quelque chose qui reste une composée de fonctions, donc là où la notation rond est habituellement utilisée.
Mais c'est probablement parce qu'on tend à cacher le côté fonction des variables aléatoires (on les notes en majuscule alors que les fonctions boréliennes en minuscules etc...). Mais ça m'est déjà arrivé d'avoir du mal à faire certaines choses (finir par confondre...) juste à cause de ces notations :(. Du coup, j'écris tout avec des ronds, au probable ( :mrgreen: ) grand désespoir de mon prof et chargé de TD.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/

YLS

Re: Théorème du transfert

Message par YLS » 08 avr. 2009 16:14

Hum. Le seul message que j'ai à peu près compris c'est celui-là lol :
Eti-N a écrit :Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que $ X1_A $ admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par $ E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A) $. Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))
Enfin, dans la mesure où je n'ai aucune notion sur les couples de variables quelconques/à densité, et que tous vos propos sur l'espérance conditionnelle semblent reposer là-dessus, c'est pas étonnant.

Ceci dit, je ne sors pas cette histoire d'espérance conditionnelle d'une variable à densité de nulle part, en fait ça vient tout droit de ce sujet (plutôt sympa par ailleurs) : [HEC 2008 (II)]. Tout se passe dans la partie III, les questions à problèmes, ie. qui font intervenir cette espèce de "densité conditionnelle", sont la 1.d) et la 2.b). Enfin regardez plutôt l'introduction de la partie III, ça me paraît assez explicite. En plus, le sujet ne parle même pas de variable à densité pour X (même si dans les questions c'est effectivement le cas), mais de "variable aléatoire à valeurs dans R"...
Alors, que penser? Petite blague de la part des concepteurs de sujet? Ils ne manquent pas d'humour d'ailleurs, puisque d'après le rapport du jury, sur cette partie III :
Hormis les questions non traitées par les candidats, les principales erreurs proviennent des confusions entre variable aléatoire et loi de probabilité : on note toujours dans les copies, des « variables conditionnelles » ou des « événements conditionnels », et il est rare de rencontrer la définition d’une loi conditionnelle ou de la probabilité conditionnelle de A sachant B (pourtant au programme de la première année).
Ahah, ils l'ont bien cherché faut dire.

En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de $ t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)] $. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.

PS : Si quelqu'un trouve l'avant-dernière question du sujet, partie IV, 2.a), je suis preneur, c'est la seule réponse qui me manque :mrgreen:

Eti-N

Re: Théorème du transfert

Message par Eti-N » 08 avr. 2009 18:16

YLS a écrit :Hum. Le seul message que j'ai à peu près compris c'est celui-là lol :
Eti-N a écrit :Pas de problème. ;) En ECS (et encore, on ne fait ça que dans le cas discret pour faire des calculs...), sous réserve que A un élément de la tribu de probabilité non nulle et que $ X1_A $ admette une espérance, on leur définit l'espérance conditionnelle de X sachant A par $ E(X|A)=\frac{1}{P(A)} E(X1_A) $. Dans leur programme, une espérance conditionnelle, c'est un réel et non une variable aléatoire (je sais, c'est choquant. ;))
Enfin, dans la mesure où je n'ai aucune notion sur les couples de variables quelconques/à densité, et que tous vos propos sur l'espérance conditionnelle semblent reposer là-dessus, c'est pas étonnant.
La définition que je t'ai donnée pour l'espérance conditionnelle par rapport un élément de probabilité non nulle est la définition la plus générale que l'on puisse avoir. Tu peux vérifier, dans le cas où X est discréte, que ça correspond bien à l'espérance de X par rapport à la proba conditionnelle P_A (en utilisant le théorème de transfert, justement). Dans le cas général (et même dans le cas à densité), je ne peux pas t'expliquer pourquoi la formule est également valable (ça irait beaucoup trop loin, on a besoin de l'intégrale de Lebesgue, etc.)
Ceci dit, je ne sors pas cette histoire d'espérance conditionnelle d'une variable à densité de nulle part, en fait ça vient tout droit de ce sujet (plutôt sympa par ailleurs) : [HEC 2008 (II)]. Tout se passe dans la partie III, les questions à problèmes, ie. qui font intervenir cette espèce de "densité conditionnelle", sont la 1.d) et la 2.b). Enfin regardez plutôt l'introduction de la partie III, ça me paraît assez explicite. En plus, le sujet ne parle même pas de variable à densité pour X (même si dans les questions c'est effectivement le cas), mais de "variable aléatoire à valeurs dans R"...
J'en avais parlé avec quelqu'un. En effet, c'est plutôt mal défini. On cherche à vous faire utiliser des choses en vous faisant admettre de nombreuses propriétés. (Quel intérêt?) Ce qu'il faut retenir, c'est que $ E(X|K=k) $ est l'espérance conditionnelle de X par rapport à la proba $ P_{(K=k)} $. Par bonheur, X est une variable à densité par rapport à cette proba conditionnelle (par la question 1)a)). La 1)d) n'est qu'une vérification de la formule à partir de la question précédente (qui donne l'espérance de X), puisque la 1)a) te permet de calculer g(k) et d'appliquer le théorème de transfert à g(K).
Ils ne manquent pas d'humour d'ailleurs, puisque d'après le rapport du jury, sur cette partie III :
Hormis les questions non traitées par les candidats, les principales erreurs proviennent des confusions entre variable aléatoire et loi de probabilité : on note toujours dans les copies, des « variables conditionnelles » ou des « événements conditionnels », et il est rare de rencontrer la définition d’une loi conditionnelle ou de la probabilité conditionnelle de A sachant B (pourtant au programme de la première année).
Le sujet n'est pas très clair, mais il devrait être clair dans la tête des candidats que les variables sont des fonctions (avec des caractéristiques en plus) et que le fait de conditionner n'a d'influence que sur les lois des variables aléatoires et non sur les variables elles-même. (Idem pour les événements, ce sont des ensembles, il n'y a que leur proba qui est affecté par... le choix de la proba, conditionnelle ou non).
En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de $ t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)] $. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.
En même temps, donner une densité pour une variable aléatoire ça revient à donner la loi de cette variable aléatoire. Mais puisque pour une variable aléatoire, sa loi dépend de la proba que l'on considére sur la tribu, la densité d'une variable aléatoire dépend également de la proba que l'on considère sur la tribu. Autrement dit, ce n'est pas tant de densité conditionnelle dont il faut parler mais de densité par rapport à une probabilité conditionnelle.

Habituellement, on écrit, pour tous a et b réels (a<b), $ P(X \in [a,b]) = \int_a^b f(x)dx $. Maintenant, puisqu'on ne regarde plus la loi de X par rapport à P mais par rapport à un certain $ P_A $, il suffit de trouver une fonction g telle que, pour tous a et b réels (a<b), $ P_A(X \in [a,b]) = \int_a^b g(x)dx $. Ca se fait facilement grâce au 1)a).

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Pour la question IV.2)a), en remplaçant les valeurs de $ \theta^\star $ en fonction de celles de $ \overline{\theta} $ dans l'expression de $ R(\theta^\star,\theta) $, puis en développant le carré $ ((1-\frac{c}{B_p})\overline{\theta_j}-\theta_j)^2=((\overline{\theta_j}-\theta_j)-\frac{c}{B_p}\overline{\theta_j})^2 $, en simplifiant par $ B_p $ à un endroit, en utilisant la linéarité de l'espérance et ce qu'on demande d'admettre au début de la question, je trouve que ce qu'on nous demande de calculer est égal à $ E(\frac{c^2}{B_p}-2c) + 2cE(\frac{2K}{p-2+2K}) $, ce qui est à son tour égal (on transporte la constante dans l'espérance de droite et on met au même dénominateur) à $ c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}) $, ce qui est presque ce qu'on nous demande de calculer. Il reste à prouver que $ E(\frac{1}{B_p}) = E(\frac{1}{p-2+2K}) $ et c'est acquis grâce à la partie III...

YLS

Re: Théorème du transfert

Message par YLS » 08 avr. 2009 19:50

Eti-N a écrit :
En tout cas, tous les calculs fonctionnent en prenant pour "densité conditionnelle" la dérivée de $ t \mapsto P_{(K=k)}[(X \leq t)] $. Mais on perd du temps bêtement à essayer de rédiger formellement alors qu'on ne peut quasiment pas avec les définitions données en ECS.
En même temps, donner une densité pour une variable aléatoire ça revient à donner la loi de cette variable aléatoire. Mais puisque pour une variable aléatoire, sa loi dépend de la proba que l'on considére sur la tribu, la densité d'une variable aléatoire dépend également de la proba que l'on considère sur la tribu. Autrement dit, ce n'est pas tant de densité conditionnelle dont il faut parler mais de densité par rapport à une probabilité conditionnelle.

Habituellement, on écrit, pour tous a et b réels (a<b), $ P(X \in [a,b]) = \int_a^b f(x)dx $. Maintenant, puisqu'on ne regarde plus la loi de X par rapport à P mais par rapport à un certain $ P_A $, il suffit de trouver une fonction g telle que, pour tous a et b réels (a<b), $ P_A(X \in [a,b]) = \int_a^b g(x)dx $. Ca se fait facilement grâce au 1)a).
Voilà, c'est ce que ce sujet m'a permis de comprendre. Je n'avais jamais vraiment réfléchi à ce qu'était une loi de probabilité, ni au fait que tout calcul découle de celle que l'on s'est donnée.
Eti-N a écrit :Pour la question IV.2)a), en remplaçant les valeurs de $ \theta^\star $ en fonction de celles de $ \overline{\theta} $ dans l'expression de $ R(\theta^\star,\theta) $, puis en développant le carré $ ((1-\frac{c}{B_p})\overline{\theta_j}-\theta_j)^2=((\overline{\theta_j}-\theta_j)-\frac{c}{B_p}\overline{\theta_j})^2 $, en simplifiant par $ B_p $ à un endroit, en utilisant la linéarité de l'espérance et ce qu'on demande d'admettre au début de la question, je trouve que ce qu'on nous demande de calculer est égal à $ E(\frac{c^2}{B_p}-2c) + 2cE(\frac{2K}{p-2+2K}) $, ce qui est à son tour égal (on transporte la constante dans l'espérance de droite et on met au même dénominateur) à $ c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}) $, ce qui est presque ce qu'on nous demande de calculer. Il reste à prouver que $ E(\frac{1}{B_p}) = E(\frac{1}{p-2+2K}) $ et c'est acquis grâce à la partie III...
Oh f***, je suis con. J'étais justement arrivé à $ c^2E(\frac{1}{B_p}) - 2c(p-2)E(\frac{1}{p-2+2K}) $, et je ne comprenais pas comment il pouvait rester ce $ E(\frac{1}{B_p}) $ qui me paraissait incalculable. La partie III montre effectivement que pour toute variable $ H_n $ qui suit une loi $ \chi^2(n,\lambda) $, si $ K $ suit une loi de Poisson $ \mathcal{P}(\frac{\lambda}{2}) $, alors on a $ E(\frac{1}{H_n}) = E(\frac{1}{n-2+2K}) $. Or, on vient de montrer (et sans se fouler) à la question précédente que $ B_p $ suit une loi $ \chi^2(p,b_p) $, avec $ K $ de loi $ \mathcal{P}(\frac{b_p}{2}) $. Miracle :mrgreen:

Merci Eti-N. J'ai vraiment bien aimé ce sujet 2008. Pas comme le 2007 (II) qui est vraiment infâme. Je bloque partout -_-

Eti-N

Re: Théorème du transfert

Message par Eti-N » 08 avr. 2009 20:30

YLS a écrit :Merci Eti-N. J'ai vraiment bien aimé ce sujet 2008. Pas comme le 2007 (II) qui est vraiment infâme. Je bloque partout -_-
Ca, je peux t'aider. C'est mon année de concours. Mais ce sujet n'a strictement aucun intérêt. (Mais pas ce soir, parce que j'ai partiel de finance demain matin. -_-)

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