Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Shemoz

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shemoz » 18 avr. 2009 13:28

-guigui- a écrit :Le premier : il faut et il suffit que la suite (a_n) soit dense dans [0,1], me trompé-je ? :)
Peux tu expliquer pourquoi car je ne vois pas du tout... (Meme pas besoin de montrer la bilinéarité, symétrie et l'implication ?)

-guigui-

Re: Exos sympas MP(*)

Message par -guigui- » 18 avr. 2009 13:36

colis > j'en déduis que tu as trouvé ^^ Pas évident sans 'stûce je trouve.

Shemoz > Si si il faut bien vérifier tous les axiomes, mais le point difficile à vérifier c'est le fait que l'application est définie :

soit f dans E telle que $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^2(a_n)}{2^n}=0 $ : il faut montrer que f est la fonction nulle de E. Cela revient à dire que pour tout entier n, $ \displaystyle f(a_n)=0 $. Et c'est là que l'argument de densité intervient.

colis

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 18 avr. 2009 13:43

guigui a écrit :colis > j'en déduis que tu as trouvé ^^ Pas évident sans 'stûce je trouve.
Je les avais déja tous fait. C'est pourquoi j'ai pas répondu.

Shemoz

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Shemoz » 18 avr. 2009 14:18

Montrer que si A($ \in M_n(\mathbb{R}) $) est semblable à B($ \in M_n(\mathbb{R}) $) dans $ M_n(\mathbb{C}) $ elle est semblable à B dans $ M_n(\mathbb{R}) $.
Soit: $ A\in M_n(\mathbb{R}) $,$ B\in M_n(\mathbb{R}) $.
$ A $ est semblable à $ B $ dans $ M_n(\mathbb{C}) $ie $ A=QBQ^-1 $ avec $ Q\in M_n(\mathbb{C}) $
$ A=QBQ^-1 \Longleftrightarrow AQ=QB $
$ Q\in M_n(\mathbb{C}) $ ie $ Q= M+iN $ avec $ M\in M_n(\mathbb{R}) $,$ N\in M_n(\mathbb{R}) $.
On pose : $ P : x-> Det(M+xN) $, or $ P(i)\neq0 $ ie P est une fonction polynome non nulle ie avec un nombre fini de zéro
$ \exists t_0\in \mathbb{R} $ tq $ Det(M+t_0N)\neq 0 $

Avec $ AQ=QB \Longleftrightarrow A(M+iN)=(M+iN)B $,
En développant on trouve $ AM=MB(2) et NB=AN(3) $
Avec une combinaison de (2) et (3) on trouve : $ A(M+t_0N)=(M+t_0N)B $.
D'où le résultat.

>guigui : D'accord, j'avais compris dans le sens nécessaire et suffisant. On ne devrait pas plutot dire nécessaire tout court ?

colis

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 18 avr. 2009 14:29

Shemoz a écrit :D'accord, j'avais compris dans le sens nécessaire et suffisant. On ne devrait pas plutot dire nécessaire tout court ?
C'est une CNS parce que, par exemple, si (a_n) n'est pas dense tu peux trouver une fonction f continue non nulle qui vérifie f(a_n)=0 pour tout n. (prendre une fonction à support compact non identiquement nulle dont le support est un intervalle ou il n'y a aucun terme de la suite a_n).

Messages : 1904

Inscription : 20 janv. 2009 00:21

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 14:52

V@J a écrit :
-guigui- a écrit:On note $ p(n) $ le plus grand diviseur premier de n.

Montrer que la série $ \sum_{n\geq 1} \frac{1}{np(n)} $ converge.
Bon, j'ai eu une idée, j'espère qu'elle fonctionne !
Phase 1 :
$ \forall p \in \mathbb{P} $, (ensemble des nombres premiers), on note $ \Omega_p = \{n \in \mathbb{N}^\ast \ | \ p(n) = p \} $. Alors, dans $ \overline{\mathbb{R}_+}, \ \sum_{n\geq 1} \frac{1}{np(n)} = \sum_{p \in \mathbb{P}}\left(\sum_{n \in \Omega_p}{\frac{1}{pn}}\right) $.
Si on note $ p_1 < p_2 < ... < p_i < ... $ l'ensemble $ \mathbb{P} $ des nombres premiers, on remarque que $ \Omega_{p_i} = \{p_i \prod_{j = 1}^i{p_j^{\alpha_j}} \ | \ \alpha_1 \geq 0, ..., \alpha_i \geq 0 \} $ et donc que $$ \sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n} = \prod_{j = 1}^i \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{p_j^k} \right) = \prod_{j = 1}^i \frac{1}{1-\frac{1}{p_j}} $$

Notamment, $ \ln(\sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n}) = -\sum_{j=1}^i -\ln(1-\frac{1}{p_j}) $.

Phase 2 :
Par concavité de la fonction $ x \to \ln(x) $, on remarque que, si $ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} $, alors $ 0 \leq -\ln(1-x) \leq \frac{7}{5}x $. $ \forall \ j \geq 1, \ 0 \leq \frac{1}{p_j} \leq \frac{1}{2} $ ; donc $ \ln(\sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n}) \leq \frac{7}{5} \sum_{j=1}^i \frac{1}{p_j} $. Enfin, on remarque que $ \sum_{j=1}^i{\frac{1}{p_j}} \leq \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{\frac{p_i-1}{2}}{\frac{1}{2k+1}} = \frac{1}{2} \left(1+\sum_{k=1}^{\frac{p_i-1}{2}}{\frac{1}{k+\frac{1}{2}}}\right) $.
Par convexité de la fonction $ x \to \frac{1}{x} $, on sait que $ \forall n \in \mathbb{N}^\ast, \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k+\frac{1}{2}}} \leq \int_1^n{\frac{dx}{x}} = \ln(n) $.
Donc $ \ln(\sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n} ) \leq \frac{7}{5} \times \frac{1}{2} \times \left(1+\ln(\frac{p_i-1}{2}) \right) $, et $ \sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n} \leq (\frac{e(p_i-1)}{2})^{\frac{7}{10}} \leq 2 p_i^{\frac{7}{10}} $.

Conclusion :

Finalement, dans $ \overline{\mathbb{R}_+} $, on obtient $ \sum_{n\geq 1} \frac{1}{np(n)} \leq \sum_{p \in \mathbb{P}}\frac{2 p^{\frac{7}{10}}}{p^2} < + \infty $, et notre série convergeait bien...
Chapeau pour l'exercice 1. Tu as du vécu que je n'ai pas en maths. :(

Par contre, ta phase 1 je n'ai pas bien compris :
Pourquoi $ \sum_{n \in \Omega_{p_i}} \frac{p_i}{n} = \sum_{n \in \Omega_p} \frac{1}{pn} $ ?
Parce qu'en gros après tu ne te bases plus que sur la somme de gauche, alors qu'on part de celle de droite...

Edit : Rien dit, il est évident que le terme de gauche est supérieur au terme de droite.
Nothing is too hard, many things are too fast.

V@J

Messages : 2811

Inscription : 22 janv. 2009 17:15

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 15:11

Pourquoi $ \sum_{n \in \Omega_{p_i}}{\frac{p_i}{n} = \sum_{n \in \Omega_p}{\frac{1}{pn}} $ ?
Déjà, il faudrait identifier $ p_i $ à $ p $, hein...
Mais après, on a simplement $ \sum_{n\in\Omega_p}\frac{1}{pn}} = \frac{1}{p^2}\sum_{n \in \Omega_{p}}{\frac{p}{n} $. L'expression de gauche est celle que l'on cherche à évaluer, celle de droite est celle que l'on peut facilement calculer.

Madec

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Madec » 18 avr. 2009 15:12

Niveau intermédiaire a écrit: Existe -t-il une norme N sur M(n, \mathbb{C}) tel que pour tout A et B semblables, N(A)=N(B) ?

Au passage si une telle norme n'existe pas , alors cela démontre aussi qu'il n'existe pas de norme N telle que N(AB)=N(BA) pour tout (A,B).

en effet si une telle norme existait , on aurait pour A quelconque et P inversible quelconque :
N(P^-1 A P )= N( P P^-1A)=N(A)
soit il existerait une norme telle que deux matrices semblables ont même norme .

V@J

Messages : 2811

Inscription : 22 janv. 2009 17:15

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 15:24

Soit $ A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} $ et $ P = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix} $. On remarque que $ P^{-1}AP = 2A \neq 0 $. Nulle norme N sur $ M_n(\mathbb{C}) $ ne peut donc vérifier :
$ \forall X, Y $ semblables, $ N(X) = N(Y) $.

(sinon on aurait $ N(A) = N(2A) = 2N(A) $, et donc $ N(A) = 0 $ alors que $ A \neq 0 $)
Sauf erreur de ma part...

V@J

Messages : 2811

Inscription : 22 janv. 2009 17:15

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 15:26

Un dernier pour la route (celui-là, on me l'a posé en colle quand j'étais petit) :
Étudier la nature de $ \sum_{n = 0}^\infty{\sin(\pi \ e \ n!)} $

Répondre