Petite Mines 2009 :) !

[samcambodge]

Nous ne lavons pas traité....

[Kaahne]

Hop, le sujet de maths commun, si qqu veut la physique, je peux essayer, mais y'a 12 pages oO !!






Faites pas gaffe à ce qu'il y a d'écrit sur le coté, je perd souvent mes moyens en DS, et j'écris pas mal de conneries sur mes brouillons (mais pas sur ma copie ^.^)

[bogoss91]

Au niveau de la géométrie, comme je m'embêtait à la fin (pas envie de torcher l'analyse en 5 minutes), j'ai conjecturé que $ S_m $ était une boule tangente au cône $ \varepsilon $, genre une boule de glace ... C'était un truc de ce type d'après vous?
Et si oui, le cône était il d'axe (Oz), ca me paraissait évident au vu des centres des$ S_m $, mais je l'ai pas fait figurer, j'étais pas totalement certain.

Et puis les coniques ... ouuuuuh ! c'est loin tout ça

Ben moi comme il me restait pas mal de temps, j'ai dit que $ \varepsilon $ était tangent à toutes les Sm, ensuite j'ai fait un petit dessin représentatif dans le plan y = 0 (je voulais faire en 3D mais c'était pas facile. ).

Et c'était pas un cône, mais un hyperboloïde.

[Sam DTDV]

Hop, le sujet de maths commun, si qqu veut la physique, je peux essayer, mais y'a 12 pages oO !!






Faites pas gaffe à ce qu'il y a d'écrit sur le coté, je perd souvent mes moyens en DS, et j'écris pas mal de conneries sur mes brouillons (mais pas sur ma copie ^.^)

Merci super

Pour moi c'est pas la peine la physique, repose toi pour bien être au taquet demain

[Ewokie]

Bonsoir,

Hop, le sujet de maths commun, si qqu veut la physique, je peux essayer, mais y'a 12 pages oO !!

Moi je veux bien la physique. Merci.

[Kaahne]

Hyperboloïde ? Dommage ... Je savais plus vraiment l'équation d'un cône, alors j'ai un peu improvisé (en même temps, ca explique l'intersection avec le plan P ... ), et il est bien d'axe Oz , ma cheminée de refroidissement de centrale nucléaire (cf, mon prof de spécialité l'année dernière !)

[Thaalos]

Proposition de Correction aux Mines. ^^
J'ai dû aider un ami dessus vu qu'il l'a passé, vu que j'ai à peu près le niveau, je vous propose des éléments de correction pour le sujet de maths !
N'oublions pas que, l'erreur étant humaine, même si je suis en spé, je peux me tromper en proposant des choses pour les petites mines, donc n'hésitez pas si vous avez un doute !

SPOILER:

Problème I
$ \text{A.1)} $ En utilisant le binôme de newton sur la formule $ \frac{1}{2}[P(\frac{X}{2}) + P(\frac{X+1}{2})] $, on trouve immédiatement que l'image de $ \mathbb{R}_{2}[X] $ par f est incluse dans $ \mathbb{R}_{2}[X] $.
De plus, $ f(P+\lambda .Q) = \frac{1}{2}[(P+ \lambda .Q)(\frac{X}{2}) + (P+ \lambda .Q)(\frac{X+1}{2})] $ $ = \frac{1}{2}[(P)(\frac{X}{2}) + (P)(\frac{X+1}{2})] + \frac{\lambda}{2}[(Q)(\frac{X}{2}) + (Q)(\frac{X+1}{2})] $ $ = f(P) + \lambda .f(Q) $.
On rappelle au passage que $ \mathbb{R}[X] $ est un anneau intègre.
$ \text{A.2)} $ C'est évident.
$ \text{A.3)} $ $ f(1) = 1, f(X) = \frac{X}{2} + \frac{1}{4}, f(X^{2}) = \frac{X^{2}}{4} + \frac{X}{4} + \frac{1}{8} $
$ Mat_{B}(f) = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} $.
$ \text{A.4)} $ f est bijective car le déterminant de sa matrice est non nul, elle est donc injective et surjective.
$ \text{A.5)} $ $ Ker(\varphi) = \{P \in \mathbb{R}_{2}[X], P(1) = 0\} $
Donc $ Ker(\varphi) $ est l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 s'annulant en 1, une base de $ Ker(\varphi) $ est donc par exemple $ (X-1, X^{2}-1) $ (cette famille est libre car composée de polynômes de degrés deux à deux distincts), $ dim(Ker(\varphi)) = 2 $.
Autre méthode pour trouver la dimension du noyau dès le départ ce qui donne l'intuition du résultat : appliquer le théorème du rang à $ \varphi $ en constatant que l'image de $ \varphi $ est $ \mathbb{R} $ (considérer l'image par $ \varphi $ de l'ensemble des polynômes constants non nuls).
$ \text{A.6)} $ $ \varphi $ n'est clairement pas injective, car son Ker n'est pas réduit à 0, elle est par contre surjective car son image est $ \mathbb{R} $

Voilà, j'espère que je n'ai dit aucune connerie dans ces six premières questions ! ^^
J'édite quand j'ai fait les 6 suivantes !

$ \text{B.7)} $ $ B' $ est libre car composée de polynômes de degrés deux à deux distincts, et est de cardinal égal à 3 : la dimension de $ \mathbb{R}_{2}[X] $. Donc c'est une base de $ \mathbb{R}_{2}[X] $.
$ \text{B.8}) $ $ Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $.
$ \text{B.9)} $ C'est une matrice de passage, elle est donc nécessairement inversible, mais on peut ici le justifier sans perte de temps car elle est triangulaire, son déterminant vaut -12.
Pour l'inverse, vous pouvez utiliser la formule $ Q^{-1} = \frac{-1}{12}^{t} \bar Q $, mais autant faire un système, ça va plus vite.
Posons QX = Y, où Y est connu, et X inconnu.
On a donc :
$ \begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = y_{1} \\ -2x_{2} -6x_{3} = y_{2} \\ 6x_{3} = y_{3} \end{cases} $
En cherchant X :
$ \begin{cases} x_{1} = \frac{6y_{1} + 3y_{2} + 2y_{3}}{6} \\ x_{2} = \frac{-3y_{2} - 3y_{3}}{6} \\ x_{3} = \frac{y_{3}}{6} \end{cases} $
Soit $ Q^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 6 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
En faisant le produit on retrouve $ I_{3} $, ce qui prouve que je ne me suis pas trompé, sauf si j'ai mal écrit Q.
$ \text{B.10)} $ $ Mat_{B'}(f) = Q^{-1}Mat_{B}(f)Q = $ $ \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Je laisse les calculs à ceux qui aiment les faire.
$ \text{B.11)} $ On voit que A est la matrice de f dans B. Donc on calcule $ Mat_{B'}(f)^{n} $, et on en déduira $ A^{n} $.
$ Mat_{B'}(f)^{n} = \frac{1}{4^{n}}\begin{pmatrix} 4^{n} & 0 & 0 \\ 0 & 2^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Je trouve $ A^{n} = Q.Mat_{B'}(f)^{n}.Q^{-1} $ = $ \frac{1}{6.4^{n}}\begin{pmatrix} 6.4^{n} & 3.2^{n}.(2^{n}-1) & 2.4^{n}-3.2^{n}+1 \\ 0 & 3.2^{n+1} & 3.2^{n+1} - 6 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} $, ça me paraît bizarre, mais pourquoi pas.
$ \text{B.12)} $ $ A^{n}.\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} $ $ = \frac{1}{6.4^{n}}.\begin{pmatrix}6.4^{n}.a + 3.2^{n}.[2^{n}+1].b + [2.4^{n}-3.2^{n}+1].c \\ 3.2^{n+1}.b + [3.2^{n+1} - 6].c \\ 6 \end{pmatrix} $... Après tout pourquoi pas, mais quelqu'un peut confirmer ?

Mis à part les deux dernières questions, c'est pas trop mal. ^^

$ \text{B.13)} $ $ \varphi(f^{n}(P)) = f^{n}(P)(1) = a + \frac{1}{6.4^{n}}[(3.4^{n} - 3.2^{n} + 3.2^{n+1}).b $ $ + (2.4^{n}-3.2^{n} + 3.2^{n+1} - 5)c +6] $
Quand $ n \to +\infty, \varphi(f^{n}(P)) \to a + \frac{1}{2}.b + \frac{1}{3}.c = \displaystyle \int_{0}^{1}P(t)dt $.
$ \text{C.14)} $Initialisation : Pour n=0, c'est immédiat.
Hérédité : On suppose que $ f^{n}(P) = \frac{1}{2^{n}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n}-1}P(\frac{X+k}{2^{n}}) $.
$ f^{n+1}(P) = \frac{1}{2^{n}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n}-1}f(P(\frac{X+k}{2^{n}})) $

$ f^{n+1}(P) = \frac{1}{2^{n+1}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n}-1}P(\frac{X+2.k}{2^{n+1}}) + P(\frac{X + 2.k + 1}{2^{n+1}}) $.

$ f^{n+1}(P) = \frac{1}{2^{n+1}}(\displaystyle \sum_{k=0, \text{k pair}}^{2^{n+1}-2}P(\frac{X+k}{2^{n+1}}) $ $ + \displaystyle \sum_{k=0, \text{k impair}}^{2^{n+1}-1} P(\frac{X + k}{2^{n+1}}) ) $

$ f^{n+1}(P) = \frac{1}{2^{n+1}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}P(\frac{X+k}{2^{n+1}}) $
Conclusion : D'après le principe de récurrence, $ \forall n \in \mathbb{N}, $ $ f^{n}(P) = \frac{1}{2^{n}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n}-1}P(\frac{X+k}{2^{n}}) $
$ \text{C.15)} $ $ \varphi(f^{n}(P)) = f^{n}(P)(1) = $ $ f^{n}(P) = \frac{1}{2^{n}} \displaystyle \sum_{k=0}^{2^{n}-1}P(\frac{1+k}{2^{n}}) $
Ou encore $ f^{n}(P) = \frac{1}{2^{n}} \displaystyle \sum_{k=1}^{2^{n}}P(\frac{k}{2^{n}}) $
On reconnait une somme de Riemann : $ f^{n}(P) = \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{k=1}^{N}P(\frac{k}{N}) $
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi(f^{n}(P)) = $ $ \displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{k=1}^{N}P(\frac{k}{N}) $ $ = \displaystyle \int_{0}^{1}P(t)dt $.
$ \text{D.16)} $ $ S_{m} : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mz\sqrt{2} + m^{2} - 2 = 0 $
$ S_{m} : x^{2} + y^{2} + (z - \sqrt{2}m)^{2} - m^{2} - 2 = 0 $
$ S_{m} : x^{2} + y^{2} + (z - \sqrt{2}m)^{2} = m^{2} + 2 $
$ \forall m \in \mathbb{R}, S_{m} $ est la sphère de centre $ (0,0,\sqrt{2}m) $ et de rayon $ \sqrt{m^{2}+2} $
$ \text{D.17)} $ $ P \cap \epsilon : \begin{cases} y = 0 \\ x^{2} + y^{2} = z^{2} + 2 \end{cases} $
$ P \cap \epsilon : \frac{x}{\sqrt{2}}^{2} - \frac{z}{\sqrt{2}}^{2} = 1 $, ceci est une hyperbole.
J'aime tellement peu les coniques...
$ \text{D.18}) $ Je vous laisse le plaisir de le faire !
$ \text{D.19)} $ $ c = \sqrt{2+2} = 2 $, donc $ F:(2,0) $ est foyer (je ne me souviens plus, mais je crois qu'il en va de même pour $ F:(-2,0) $)
$ e = \frac{c}{a} = \sqrt{2} $

$ \text{D.20)} $ On pose successivement z = 1 et z = 0, on obtient deux points de la droite :
$ P_{1} : \begin{pmatrix} \sqrt{2}sin(\theta) + cos(\theta) \\ -\sqrt{2}cos(\theta) + sin(\theta) \\ 1 \end{pmatrix} $
$ P_{2} : \begin{pmatrix} \sqrt{2}sin(\theta) \\ -\sqrt{2}cos(\theta) \\ 0 \end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} cos(\theta) \\ sin(\theta) \\ 1 \end{pmatrix} $
$ \text{D.21)} $ Il suffit de résoudre le système $ \begin{cases} x^{2} + y^{2} + (z - \sqrt{2}m)^{2} = m^{2} + 2 \\ x = \sqrt{2}sin(\theta) + z.cos(\theta) \\ y = -\sqrt{2}cos(\theta) + z.sin(\theta) \end{cases} $.
En faisant le calcul, on constate que $ x^{2} + y^{2} = 2 + z^{2} $, en développant dans la première expression, on obtient un polynôme de degré 2 en z : $ 2.z^{2} - 2.\sqrt{2}.z.m + m^{2} = 0 $, il est à discriminant nul, et donc possède une unique racine (double certes, mais unique) : $ z = \frac{\sqrt{2}}{2}.m $.
Finalement, $ S_{m} $ et $ D_{\theta} $ ont le point $ \begin{pmatrix} \sqrt{2}sin(\theta) + \frac{\sqrt{2}}{2}.m.cos(\theta) \\ -\sqrt{2}cos(\theta) + \frac{\sqrt{2}}{2}.m.sin(\theta) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}.m \end{pmatrix} $ en commun, or $ D_{\theta} $ est une droite, donc elle est tangente à la sphère, sinon il y aurait un deuxième point en commun.
$ \text{D.22)} $ Immédiat d'après $ \text{D.21)} $ (on l'a montré à un moment).
$ \text{D.23)} $ Question plus délicate, il faut remarquer qu'on peut écrire $ \begin{cases} x = \sqrt{z^{2}+2}.cos(\alpha) \\ y = \sqrt{z^{2}+2}.sin(\alpha) \end{cases} $.
On veut arriver à $ \begin{cases} x = z.cos(\theta) + \sqrt{2}.sin(\theta) \\ y = z.sin(\theta) - \sqrt{2}.cos(\theta) \end{cases} $.
Il suffit par exemple de prendre la première ligne, et de la transformer.
$ x = \sqrt{z^{2}+2}.\frac{z}{\sqrt{z^{2}+2}}cos(\theta) + \sqrt{z^{2}+2}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{z^{2}+2}}.sin(\theta) $.
Les expressions $ \frac{z}{\sqrt{z^{2}+2}} $ et $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{z^{2}+2}} $ peuvent s'exprimer comme un cosinus et un sinus, car la somme de leurs carrés vaut 1.
On a donc $ x = \sqrt{z^{2}+2}.cos(\phi).cos(\theta) + \sqrt{z^{2}+2}.sin(\phi).sin(\theta) $. (on a mis le cos et le sin de $ \phi $ là où ça nous arrangeait au vu de la simplification que l'on veut obtenir)
$ x = \sqrt{z^{2}+2}.cos(\theta - \phi) $.
Il suffit de poser $ \alpha = \theta - \phi $ et de voir si ça marche pour y, ce qui est le cas.
On a trouvé notre angle $ \theta $.
$ \text{D.24)} $ $ \epsilon $ est l'ensemble des droites $ D_{\theta} $, pour $ \theta $ variant dans $ [0,2.\pi] $.

[benjaminix]

Proposition de Correction aux Mines. ^^ [...]

A la question 1, il manque la stabilité par multiplication d'un scalaire $ \lambda \in \mathbb{R} $ (mais ce doit être une oubli involontaire )

[Kaahne]

Le binome de Newton pour la première ? J'ai juste dit que
$ deg(f(P)) \le max ( deg P, deg P) $
Bon après ... Y'a peut être un truc que j'ai pas vu.

Aujourdhui, maths spécifique, un exo d'algèbre que j'ai beaucoup apprécié :
Dans $ \mathbb{C} [X] $, soit $ T $ un polynome de degré $ n $.
Pour tout$ P \in \mathb{C} [X] $, on a $ R $ et $ Q $ le reste et quotient de la division euclidienne de $ P(X^2) $ par $ T $, et on étudie $ f : P -> Q+R*X $. Un exo bien sympa, de difficulté grandissante (pas réussi les dernières question dans l'étude d'un noyeau). J'ai un peu été dégouté par l'étude du produit scalaire, car on l'avait pas vu en cours (j'ai quelques connaissances dessus, mais rien de bien quantifié quoi ... )
En analyse, ca tournait autour de la fonction
$ f_n : x -> 3 x^n exp (-x^2) - 1 $
(Voir ici :Wolfram|Alpha)
si je me souviens bien ... A nouveau, des trucs un peu chiant (j'arriverai jamais les courbes paramétriques je croie ...), mais un exo interessant, sans gros problème de bornes (ça fait plaisir, pour une fois, une fonction C-infini sur$ \mathbb{R} $ !)
Dans l'étude des suites $ u_n $ et $ v_n $ , pour démontrer que $ u_n $ tendait vers 1, j'ai pas fait par l'absurde du tout, mais avec la fonction g, j'ai montré que $ \frac{1}{3^1^/^n} \le u_n \le 1 $ pour démontrer que ca tendait vers 1 (à vrai dire, c'est un peu par hasard que je suis tombé dessus, et ca semblait marcher ...)

Question bonus : on a pas vu les DL en cours, et je me demandait si on peut dire qu'une fonction admet un DL de tout ordre au voisinage de 0 si elle est C-infini sur$ \mathbb{R} $(ou au moins sur un voisinage de 0 peut être ?) (Re-bonus : y'a il une équivalence ?)

Le français ... bah voila, un texte que j'ai trouvé déroutant, sur les contes des fées, mais relativement sympa à lire (à résumer par contre) J'ai été dégouté par la dissertation, j'avais absolument rien à dire ... enfin, on verra bien

[Thaalos]

Proposition de Correction aux Mines. ^^ [...]

A la question 1, il manque la stabilité par multiplication d'un scalaire $ \lambda \in \mathbb{R} $ (mais ce doit être une oubli involontaire )

Euh, pour l'application linéaire ?
Oui, j'ai oublié de le mettre, alors qu'il est sur ma feuille !
Merci.