Théorème du prolongement dérivable...

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Répondre
fredo118
Messages : 26
Enregistré le : lun. août 15, 2005 7:55 pm
Contact :

Théorème du prolongement dérivable...

Message par fredo118 » sam. janv. 28, 2006 11:29 pm

J'ai entendu parlé du théoeème du prolongement dérivable qui sert à montrer qu'une fonction $ C^{p} $ par morceaux est de classe $ C^{p} $ sur le domaine de définition.Je ne sais pas si quelqu'un pourrait me préciser ses hypothèses.Merci d'avance.[/tex]
fradiqué

JeanN
Messages : 5374
Enregistré le : dim. sept. 04, 2005 7:27 pm
Localisation : Versailles

Message par JeanN » dim. janv. 29, 2006 12:06 am

Théorème de prolongement des fonctions de classe C1
Soit f continue sur [a,b], de classe C1 sur [a,b[.
Si f ' admet une limite finie L en b,alors f est de classe C1 sur [a,b], et f '(b) = L.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

fredo118
Messages : 26
Enregistré le : lun. août 15, 2005 7:55 pm
Contact :

Message par fredo118 » dim. janv. 29, 2006 8:06 pm

En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l'énoncé comme suit:"Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b[(resp. $ C^{(p)} $ par morceaux sur I). Si $ f^{(p)} $ admet une limite L en b (resp. si $ f^{(p)} $ est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b] (resp. de classe $ C^{(p)} $sur I) et $ f^{(p)}(b) $=L". ça me paraît cool comme théorème :D .
fradiqué

Avatar du membre
Messages : 3695
Enregistré le : ven. févr. 13, 2004 4:11 pm

Message par » dim. janv. 29, 2006 8:25 pm

fredo118 a écrit :En fait on démontre mon théorème par récurrence avec comme initialisation le théorème de prolongement des fonctions de classe C1.Et donc on peut l'énoncé comme suit:"Soit f une fonction continue sur [a,b](respectivement sur I),de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b[(resp. $ C^{(p)} $ par morceaux sur I). Si $ f^{(p)} $ admet une limite L en b (resp. si $ f^{(p)} $ est prolongeable par continuité aux points de discontinuités) alors f est de classe $ C^{(p)} $ sur [a,b] (resp. de classe $ C^{(p)} $sur I) et $ f^{(p)}(b) $=L". ça me paraît cool comme théorème :D .


Il l'est. A titre d'exercice, tu peux l'utiliser pour démontrer qu'il existe une fonction $ C^{\infty} $ de $ \mathbb{R} $ dans lui-même nulle en dehors d'un segment donné mais non identiquement nulle. Cette construction est marrante en soi et surtout sert à un niveau plus élevé pour construire proprement la théorie des distributions.

fredo118
Messages : 26
Enregistré le : lun. août 15, 2005 7:55 pm
Contact :

Message par fredo118 » mar. janv. 31, 2006 9:44 pm

La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l'affaire en considérant sa subdivision $ (a_{i})_{i\in\I} $et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle $ [a_{i},a_{i+1}] $.cqfd
fradiqué

Avatar du membre
Messages : 3695
Enregistré le : ven. févr. 13, 2004 4:11 pm

Message par » mar. janv. 31, 2006 9:53 pm

fredo118 a écrit :La fonction escalier sur [0;1] et nulle sur ailleurs.Elle me paraît faire l'affaire en considérant sa subdivision $ (a_{i})_{i\in\I} $et en appliquant le théorème de prolongement dérivable sur chaque intervalle $ [a_{i},a_{i+1}] $.cqfd


:shock:
Une fonction en escalier n'est continue que si elle est constante, vu qu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs... A fortiori, pas $ C^{\infty} $!
N'oublions pas qu'il y a une hypothèse de continuité dans le théorème sus-cité, et que tu viens juste en fait de démontrer qu'on ne peut pas s'en passer.

jojo
Messages : 70
Enregistré le : mar. juil. 19, 2005 6:27 pm
Localisation : Canada

Message par jojo » mar. janv. 31, 2006 10:53 pm

Est ce qu'une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?

Par exemple f définie sur [0,1] U [2,3] par
f(x)=1 sur [0,1]
f(x)=2 sur [2,3]
est elle en escalier?

Avatar du membre
Messages : 3695
Enregistré le : ven. févr. 13, 2004 4:11 pm

Message par » mar. janv. 31, 2006 11:35 pm

jojo a écrit :Est ce qu'une fonction en escalier est nécessairement définie sur un intervalle?


Oui. Enfin bon, on peut toujours étendre les définitions comme on veut, mais en prépa, elles sont d'abord définies sur les segments, puis on peut étendre cette définition de manière intéressante aux intervalles quelconques. Cependant, ça n'a que peu de rapport avec la question initiale (qui demandait des fonctions définies sur R).

jojo
Messages : 70
Enregistré le : mar. juil. 19, 2005 6:27 pm
Localisation : Canada

Message par jojo » mar. janv. 31, 2006 11:44 pm

C'était juste une question innoncente...
Merci.
A+

fredo118
Messages : 26
Enregistré le : lun. août 15, 2005 7:55 pm
Contact :

Message par fredo118 » mer. févr. 01, 2006 10:33 pm

:shock: zut!Je me suis encore planté la reponse était à porté il fallait juste prendre la constante sur un segment.
fradiqué

Avatar du membre
Messages : 3695
Enregistré le : ven. févr. 13, 2004 4:11 pm

Message par » mer. févr. 01, 2006 10:57 pm

fredo118 a écrit ::shock: zut!Je me suis encore planté la reponse était à porté il fallait juste prendre la constante sur un segment.


Non plus: on veut une fonction définie sur R et indéfinitment dérivable...
Indication: chercher du côté de exp(-1/x^2).

jojo
Messages : 70
Enregistré le : mar. juil. 19, 2005 6:27 pm
Localisation : Canada

Message par jojo » jeu. févr. 02, 2006 12:01 am

Mû a écrit :A titre d'exercice, tu peux l'utiliser pour démontrer qu'il existe une fonction $ C^{\infty} $ de $ \mathbb{R} $ dans lui-même nulle en dehors d'un segment donné mais non identiquement nulle. Cette construction est marrante en soi et surtout sert à un niveau plus élevé pour construire proprement la théorie des distributions.

Oui, ca permet de montrer beaucoup de choses et de créer beaucoup d'objets:
La démonstration du théorème de Stokes que je connais, passe par ces fonctions. De même pour le théorème de Tietze-Urysohn.
C'est là toute la différence entre les fonctions dérivables réelles, et les fonctions dérivables complexes. On ne peut pas avoir de telles fonctions complexes, elles sont beaucoup trop rigides, tandis ce que les fonctions réelles sont très souples.

Répondre

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 18 invités