Exercices d'arithmétique !

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Asymetric

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » 20 sept. 2009 17:56

esta-fette a écrit :
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.
Bonjour à tous.....

Quand j'ai indiqué mon identité (avec une faute sur le signe)
c'était si on le désire le théorème de Wilson si on le désire ou aussi le théorème d'Euler qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
j'ai la mauvaise habitude de redémontrer les théorèmes que j'utilise....

pour cet exercice, il me fait penser à la méthode de Cardan....

c'est peut-être la solution d'une équation du 3ème degré....
mais je n'ai pas encore cherché....
Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents :D

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Thaalos » 20 sept. 2009 18:13

esta-fette a écrit :qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
De la même façon ?
Wilson :
$ \Rightarrow $ : Si p est premier, alors $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ est un corps, dans ce corps, seuls 1 et -1 sont leurs propres opposés, donc on a $ 2.3...(p-2) \equiv 1 [p] $, et donc $ (p-1)! \equiv -1 [p] $.
$ \Leftarrow $ : Si p un entier vérifie $ (p-1)! \equiv -1 [p] $, on a donc $ (p-1)! + 1 = bp $, ainsi, $ bp + (p-1)! = 1 $, et en remarquant que $ \forall k \in \{1,...p-1\}, (p-1)! = kv, v \in \mathbb{Z} $, on a le théorème de Bézout qui nous dit que p est premier avec tous les entiers inférieurs à lui, d'où le résultat p premier.

Euler :
Soit a tel que $ pgcd(a,n) = 1 $. $ a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} $, et donc comme $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} $ est un groupe, l'ordre de a divise $ \varphi(n) $, d'où $ a^{\varphi(n)} \equiv 1 [n] $.

Les preuves, bien élémentaires, ne sont pas les mêmes.
Nothing is too hard, many things are too fast.

esta-fette

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » 20 sept. 2009 18:32

Asymetric a écrit :
esta-fette a écrit :
Démontrer que \sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} est rationnel.
Bonjour à tous.....

Quand j'ai indiqué mon identité (avec une faute sur le signe)
c'était si on le désire le théorème de Wilson si on le désire ou aussi le théorème d'Euler qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
j'ai la mauvaise habitude de redémontrer les théorèmes que j'utilise....

pour cet exercice, il me fait penser à la méthode de Cardan....

c'est peut-être la solution d'une équation du 3ème degré....
mais je n'ai pas encore cherché....
Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents :D
$ x= \sqrt[3] {(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} $
$ u=\sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} $
$ v=\sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} $
$ u^3 + v^3 = 36 $
$ u^3 v^3 = -1 $
$ x= u+v $

$ x^3= u^3+v^3+ 3uv x $
donc
$ x^3=36-3x $
$ x^3+3x-36=0 $

si , mon calcul est bon et mais mon cerveau est un peu trop rouillé....

il faut trouver x = 3, la seule solution....
donc x^3-3x-36=0
Dernière modification par esta-fette le 20 sept. 2009 18:50, modifié 3 fois.

Asymetric

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » 20 sept. 2009 18:41

esta-fette a écrit :
$ x= \sqrt[3] {(18 + \sqrt{325})} + \sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} $
$ u=\sqrt[3]{(18 + \sqrt{325})} $
$ v=\sqrt[3]{(18 - \sqrt{325})} $
$ u^3 + v^3 = 36 $
$ u^3 v^3 = -1 $
$ x= u+v $

$ x^3= u^3+v^3+ 3uv x $
donc
$ x^3=36-x $
$ x^3+x-36=0 $

si mon calcul est bon et si mon cerveau n'est pas trop rouillé....
Hmm ok. Par contre tu as fais une erreur, c'est plutôt : $ x^3 + 3x - 36 = 0 $.

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Zweig » 20 sept. 2009 18:46

SPOILER:
Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents
Si, on peut utiliser la méthode de Cardan ..... Cf : esta-fette.
2008-2009 : Terminale S spé Math au lycée Bernard Palissy
2009-2010 : MPSI au lycée Fabert (Metz)

Asymetric

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » 20 sept. 2009 18:50

Zweig a écrit :
SPOILER:
Non ce n'est pas la méthode de Cardan.
Et la réponse a été donnée dans les messages précédents
Si, on peut utiliser la méthode de Cardan ..... Cf : esta-fette.
Oui oui...

esta-fette

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par esta-fette » 21 sept. 2009 14:35

Thaalos a écrit :
esta-fette a écrit :qui se démontrent à peu près de la mê façon (on prend un élèment et on le multiplie par son inverse, c'est vrai que j'avais oublié que -1 est son propre inverse).....
De la même façon ?
Wilson :
$ \Rightarrow $ : Si p est premier, alors $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ est un corps, dans ce corps, seuls 1 et -1 sont leurs propres opposés, donc on a $ 2.3...(p-2) \equiv 1 [p] $, et donc $ (p-1)! \equiv -1 [p] $.
$ \Leftarrow $ : Si p un entier vérifie $ (p-1)! \equiv -1 [p] $, on a donc $ (p-1)! + 1 = bp $, ainsi, $ bp + (p-1)! = 1 $, et en remarquant que $ \forall k \in \{1,...p-1\}, (p-1)! = kv, v \in \mathbb{Z} $, on a le théorème de Bézout qui nous dit que p est premier avec tous les entiers inférieurs à lui, d'où le résultat p premier.

Euler :
Soit a tel que $ pgcd(a,n) = 1 $. $ a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} $, et donc comme $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{*} $ est un groupe, l'ordre de a divise $ \varphi(n) $, d'où $ a^{\varphi(n)} \equiv 1 [n] $.

Les preuves, bien élémentaires, ne sont pas les mêmes.
Bonjour....

Le théorème de Wilson peut par exemple se démontrer en utilisant les ordres des éléments:

soit p un nombre premier, Z/PZ est un corps et (Z/pZ)* est cyclique.....
donc engendré par un élèment a...

tous les élèments de (Z/pz)* sont de la forme $ a^k $
donc le produit de ces élèments est $ a^{\frac {n (n-1)} 2} $

en sachant que a^n = a
le produit est $ a^{\frac {(n-1)} 2} $ = -1 (en fait l'erreur que j'avais faite était dans cette évaluation...)

ou alors on peut utiliser le fait que x^p-x admet comme racines, toutes les racines de Z/pZ...

Pour le théorème d'Euler, on peut utiliser le fait que si a est premier avec n alors a est inversible dans Z/nZ
ou alors le

Asymetric

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Asymetric » 26 sept. 2009 16:11

Quelqu'un a une idée sur le calcul de ça :

$ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}{cos(sin(kx)) $ où $ x $ est un réel.

FeynmaN

Re: Exercices d'arithmétique !

Message par FeynmaN » 26 sept. 2009 16:37

Je crois qu'il faut determiner d'abord la somme de cos(a_i) avec i variant de 1 à n.. Si on trouve ça, alors le problème va être réglé il me semble.

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Re: Exercices d'arithmétique !

Message par Thaalos » 26 sept. 2009 19:03

J'avoue que cette somme me laisse perplexe...
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