Concours G2E 2011

[iris17300]

Bonjour,

Voilà voilà comme annoncé dans le titre, j'ai à faire en DM les 3 problèmes du concours G2E 2011. Mais dès les premières questions, je suis dépassée
Voici ce que j'ai fait, mes pistes de réflexion et mes problèmes.

Pour le sujet : http://g2e.ensg.inpl-nancy.fr/fileadmin ... S_2011.pdf


1.1. Grâce au rapport de jury, j'ai bien pensé à justifier clairement la continuité de fn, sa dérivabilité et la continuité de sa dérivée première. J'en ai donc conclu que fn était C1 ∀n∈ℕ

1.2. J'ai commencé par dire que l'intégrale était égale à [P(t).e-λt] entre 0 et +∞ mais comme nous ne savons pas comment est défini le polynôme, impossible d'en déterminer les limites. Par IPP, je n'aboutit à rien non plus...
Du coup, je ne sais comment définir fn et fn+1 et trouver une relation entre les 2 intégrales...

1.3. ???

1.4. Même problème au niveau des calculs, mon IPP n'aboutit à rien ...


Si déjà quelqu'un pouvait m'éclairer sur ces 1ère questions le temps que je réfléchisse à la suite ...

[compol]

Pour la 1.1 déjà , attention, c'est faux pour n=0. (vrai si $ n\in \mathbb{N}^* $)
Pour la 1.2 , vu que $ \lambda >0 $, que peux-tu dire quant à la croissance de $ t\mapsto e^{-\lambda t} $ par rapport à celle de $ t\mapsto P(t) $ ? Ensuite pour trouver la relation, l'idée d'une IPP est bien, puisqu'il faut passer de n+1 à n. Il faut regarder comment est définie la suit f_n par l'énoncé.

[iris17300]

1.1. faux en 0 pour fn ou f'n ? Parce que j'avais trouvé f0(t) = λ^2.e-λt et f'0(t) = 0 ???

1.2. J'aurais dit que par croissance comparée, "l'exponentielle l'emporte" donc en 0 et +∞ la primitive suit les variations de e-λt... En utilisant les limites j'obtiens alors que l'intégrale converge vers 1 c'est bien ça ?

[compol]

$ t\mapsto f_0(t) $ n'est pas continue en 0, donc ne peut pas être dérivable en ce point.

1.2. J'aurais dit que par croissance comparée, "l'exponentielle l'emporte" donc en 0 et +∞ la primitive suit les variations de e-λt... En utilisant les limites j'obtiens alors que l'intégrale converge vers 1 c'est bien ça ?

en $ + \infty $ seulement. 1 ? Pour quelle intégrale?

[iris17300]

Hum oui c'est vrai pour le 1.1. j'ai raisonné trop vite >_<

1.2. & pourquoi pas en 0 ? Parce que ne connaissant pas P(t), je ne vois pas comment en déterminer ses limites en 0 ou +∞ ...
Du coup, pour moi, si on s’intéresse aux limites de [P(t).e-λt] entre 0 et +∞ , c'est comme si on cherchait les limites de e-λt en 0 et +∞ , càd respectivement 1 et 0 ...

[Hikari]

Pour la 1.1, $ f_1(t) $ a pour dérivée à droite en 0 λ² et à gauche 0 donc $ f_1(t) $ n'est pas C1 non plus

[iris17300]

1.1. Pour f_1(t) j'ai trouvé λ².t.exp(-λt) donc quand t tend vers 0, on a bien 0 ...

1.2. & 1.3. Ces questions me posent toujours autant de problèmes, j'ai essayé plusieurs IPP en changeant mes facteurs u et v' mais rien n'y fait, au lieu de me simplifier le problème, j'en tire des expressions qui se compliquent de ligne en ligne ...

1.4. OK

1.5. OK pour l'espérance, mais mon IPP pour la variance n'aboutit à rien ...

Pour la suite, c'est le flou total, je m'emmêle les pinceaux dans les calculs ...

[Nuhlanaurtograff]

1.1 : $ f_1 $ est continue, mais n'est pas $ C^1 $.

1.2 :
a/ Montrer que $ t^2f_n(t) $ -> $ 0 $ quand t tend vers l'infini.
b/ Prendre l'intégrale de $ f_{n+1} $, faire une IPP en dérivant $ t^{n+1} $

1.3 : utiliser la relation de récurrence obtenue précédemment.