Exercices de MPSI

[Death Cube K]

Comment on calcule une somme ?

[VincentR]

Ca dépend, il n'y a pas à ma connaissance de méthode générale.
Par encadrement, télesopage, somme arithmétique, géométrique, etc....

[Dohvakiin]

Mais on somme quoi? Par exemple pour $ \sum_{1{\leq}i<j{\leq}n}{(i+j)} $ on somme tous les "couples" (i+j), genre (1+1)+(1+2)+...+(n+n) ?

[VincentR]

Ouais, sauf 1+1, 2+2, ....vu que i<j

[KGD]

Je donne quelques uns plus accessibles:
-Soit f une fonction continue sur [0;1] telle que f(0)=f(1). Montrer que l'équation $ f(x+\frac{1}{2})=f(x) $ admet une solution sur [0;$ \frac{1}{2} $]. Généralisation?
- Soient a et b deux complexes. Montrer que $ |a-b|=|1-\overline{a}b| $ si et seulement si $ |a| = 1 $ ou $ |b| = 1 $
- Montrer que pour tout x strictement positif : $ \int_{x}^{1} \frac{1}{t^{2}+1}dt = \int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{1}{t^{2}+1}dt $

1)

SPOILER:

On pose $ \phi(x) = f(x+\frac{1}{2}) - f(x) $. On a $ \phi(0) = f(\frac{1}{2}) - f(0) $ et $ \phi(\frac{1}{2}) = f(1)-f(\frac{1}{2}) = -\phi(0) $. Puisque $ \phi $ est continue et change de signe sur $ [0;\frac{1}{2}] $, elle s'annule sur l'intervalle d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour la généralisation, on montre par la même démo que pour toute fonction continue sur un intervalle [a,b] telle que f(a)=f(b), l'équation $ f(x) = f(x+\frac{b-a}{2}) $ admet une solution dans $ [a;\frac{a+b}{2}] $ (après il y a peut-être plus fort).

2)

SPOILER:

$ |a-b| = |1-\bar{a}b| $
$ \Leftrightarrow |a-b|^2 = |1-\bar{a}b|^2 $
$ \Leftrightarrow (a-b)(\bar{a}-\bar{b})= (1-\bar{a}b)(1-a\bar{b}) $
$ \Leftrightarrow|a|^2 - 2Re(\bar{a}b) + |b|^2 = 1 - 2Re(\bar{a}b) + |ab|^2 $
$ \Leftrightarrow |a|^2 + |b|^2 - |ab|^2 -1 = 0 $
$ \Leftrightarrow |a|^2(1-|b|^2) + |b|^2 - 1 = 0 $
$ \Leftrightarrow (|a|^2 - 1)(1-|b|^2) = 0 $
$ \Leftrightarrow |a| = 1 \: ou \: |b|=1 $

3)

SPOILER:

Soit F définie sur $ ]0;+\infty[ $ par $ F(x) = \int_1^x \frac{dt}{t^2+1} $. L'énoncé revient à montrer pour tout x strictement positif l'égalité $ F(x) + F(\frac{1}{x}) = 0 $.
On pose donc pour tout x strictement positif $ \phi(x) = F(x)+F(\frac{1}{x}) $. D'après le théorème fondamental du calcul intégral, $ \phi $ est dérivable et on a $ \phi'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0 $.
$ \phi $ est donc constante et on a pour tout x strictement positif: $ \phi(x) = \phi(1) = 2F(1) = 0 $

[mehdinho]

Essaie de la mettre sous forme de 2 sommes

[lionel52]

Calculer les sommes suivantes, pour x non nul :

$ \sum_{k=0}^n exp(kx) $

et

$ \sum_{k=0}^n k.exp(kx) $

[mehdinho]

Dans le même esprit :
$ \sum_{k=0}^{n}x^k $ et $ \sum_{k=0}^{n}kx^k $

[Death Cube K]

Ah pour l'exo 1 j'avais trouvé !

Par contre la généralisation.

[Asymetric]

Mais on somme quoi? Par exemple pour $ \sum_{1{\leq}i<j{\leq}n}{(i+j)} $ on somme tous les "couples" (i+j), genre (1+1)+(1+2)+...+(n+n) ?

On prend tous les $ (i,j) \in [\![1,n]\!]^2 $ qui vérifient $ i < j $.